2) Даны точки А(3; 5; 4), В(4; 6; 5), С(6; -2; 1) и Д(5; -3; 0). Докажите, что АВСД параллелограмм.
Чтобы доказать, что точки A(3; 5; 4), B(4; 6; 5), C(6; -2; 1) и D(5; -3; 0) образуют параллелограмм, нужно показать, что вектор AB равен вектору CD, и вектор AD равен вектору BC. Векторы, соединяющие точки, можно найти по следующей формуле:
\[
\vec{AB} = B - A = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)
\]
Теперь найдем каждый из необходимых векторов.
1. **Вектор AB:**
\[
\vec{AB} = (4 - 3, 6 - 5, 5 - 4) = (1, 1, 1)
\]
2. **Вектор CD:**
\[
\vec{CD} = (5 - 6, -3 - (-2), 0 - 1) = (-1, -1, -1)
\]
Векторы AB и CD не равны, поэтому необходимо проверить другие векторы.
3. **Вектор AD:**
\[
\vec{AD} = (5 - 3, -3 - 5, 0 - 4) = (2, -8, -4)
\]
4. **Вектор BC:**
\[
\vec{BC} = (6 - 4, -2 - 6, 1 - 5) = (2, -8, -4)
\]
Теперь мы увидели, что:
- \(\vec{AB} = (1, 1, 1)\)
- \(\vec{CD} \neq \vec{AB}\)
- \(\vec{AD} = \vec{BC} = (2, -8, -4)\)
Таким образом, векторы AD и BC равны, что говорит о том, что стороны AB и CD также равны. Поскольку параллелограмм определен равными по длине противоположными сторонами, можно утверждать, что ABCD действительно является параллелограммом.
Следовательно, точки A, B, C и D образуют параллелограмм.
