Чтобы решить систему уравнений:
- ( x^2 + xy - y^2 = 11 )
- ( x - 2y = 1 )
Сначала выразим ( x ) из второго уравнения:
[
x = 2y + 1
]
Теперь подставим это значение ( x ) в первое уравнение:
[
(2y + 1)^2 + (2y + 1)y - y^2 = 11
]
Раскроем скобки:
[
(4y^2 + 4y + 1) + (2y^2 + y) - y^2 = 11
]
Соберем все члены на одной стороне:
[
4y^2 + 4y + 1 + 2y^2 + y - y^2 - 11 = 0
]
Упростим уравнение:
[
(4y^2 + 2y^2 - y^2) + (4y + y) + (1 - 11) = 0
]
Получим:
[
5y^2 + 5y - 10 = 0
]
Упрощаем на 5:
[
y^2 + y - 2 = 0
]
Решим это квадратное уравнение с использованием формулы корней:
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}
]
Это дает нам два значения:
[
y_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{-4}{2} = -2
]
Теперь подставим ( y ) обратно в уравнение для ( x ):
- Для ( y = 1 ):
[
x = 2(1) + 1 = 3
]
- Для ( y = -2 ):
[
x = 2(-2) + 1 = -3
]
Таким образом, у нас есть два решения:
[
(3, 1) \quad \text{и} \quad (-3, -2)
]
Ответ:
[
(3, 1) \quad \text{и} \quad (-3, -2)
]
