Найдите первую производную функции y= ((2x+1) ^2) / (arccos(√x))
Для нахождения первой производной данной функции \( y = \frac{(2x+1)^2}{\arccos(\sqrt{x})} \) воспользуемся правилом производной частного.
Если у нас есть функция вида \( y = \frac{u}{v} \), где \( u = (2x+1)^2 \) и \( v = \arccos(\sqrt{x}) \), то производная \( y' \) вычисляется по формуле:
\[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
Теперь найдем производные \( u' \) и \( v' \).
Вычислим \( u' \): \[ u = (2x+1)^2 \] Используя правило производной степени, получаем: \[ u' = 2(2x+1) \cdot 2 = 4(2x+1) \]
Вычислим \( v' \): \[ v = \arccos(\sqrt{x}) \] Сначала найдем производную внутренней функции \( \sqrt{x} \): \[ \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] Теперь используем правило для производной арккосинуса: \[ \frac{d}{dx}(\arccos(u)) = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u' \] Таким образом, для \( v' \) будет: \[ v' = -\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}} \]
Теперь подставим \( u' \) и \( v' \) в формулу для \( y' \):
\[ y' = \frac{4(2x+1) \cdot \arccos(\sqrt{x}) - (2x+1)^2 \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}\right)}{(\arccos(\sqrt{x}))^2} \]
Упростим выражение:
\[ y' = \frac{4(2x+1) \cdot \arccos(\sqrt{x}) + \frac{(2x+1)^2}{2\sqrt{x(1-x)}}}{(\arccos(\sqrt{x}))^2} \]
Это и есть первая производная функции \( y \). Теперь вы можете использовать данное выражение для дальнейших расчетов или анализа. Если у вас есть дополнительные вопросы по теме, не стесняйтесь спрашивать!
