Давай разберёмся с твоими предложениями.
В первом предложении: "I would like (he, him, his) to take a dog out" правильный вариант - "him". Полное предложение будет: "I would like him to take a dog out."
Во втором предложении: "He want (their, they, them) to work hard" правильный вариант - "them." Однако, стоит исправить глагол "want" на "wants", чтобы предложение звучало правильно. Полное предложение будет: "He wants them to work hard."
Если нужны дополнительные объяснения по грамматике, не стесняйся спрашивать!