25х²<49
Для решения неравенства \(25x^2 < 49\), давайте сначала упростим его.
Переносим 49 на другую сторону неравенства: \[ 25x^2 - 49 < 0 \]
Теперь можно привести неравенство к форме разности квадратов: \[ (5x)^2 - 7^2 < 0 \]
Это соответствует разложению на множители: \[ (5x - 7)(5x + 7) < 0 \]
Теперь найдем нули этого произведения, приравняв каждый множитель к нулю: \[ 5x - 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7}{5} \] \[ 5x + 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{7}{5} \]
Мы имеем два критических значения: \(x = -\frac{7}{5}\) и \(x = \frac{7}{5}\). Теперь определим интервалы, которые нужно исследовать:
- \( (-\infty, -\frac{7}{5}) \)
- \( (-\frac{7}{5}, \frac{7}{5}) \)
- \( (\frac{7}{5}, +\infty) \)
Для каждого интервала проведем тестирование на знак выражения \((5x - 7)(5x + 7)\):
Для интервала \( (-\infty, -\frac{7}{5}) \), например, \(x = -2\): \[ (5(-2) - 7)(5(-2) + 7) = (-10 - 7)(-10 + 7) = (-17)(-3) > 0 \]
Для интервала \( (-\frac{7}{5}, \frac{7}{5}) \), например, \(x = 0\): \[ (5(0) - 7)(5(0) + 7) = (-7)(7) < 0 \]
Для интервала \( (\frac{7}{5}, +\infty) \), например, \(x = 2\): \[ (5(2) - 7)(5(2) + 7) = (10 - 7)(10 + 7) = (3)(17) > 0 \]
Теперь подводим итог: Неравенство \((5x - 7)(5x + 7) < 0\) выполняется на интервале: \[ \left(-\frac{7}{5}, \frac{7}{5}\right) \]
Таким образом, решение неравенства \(25x^2 < 49\) будет: \[ x \in \left(-\frac{7}{5}, \frac{7}{5}\right) \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!
