Давайте разберём задачу и составим краткую запись.
Обозначим:
- ( M ) — время, за которое мастер выполнит заказ в одиночку (в днях).
- ( U ) — время, за которое ученик выполнит тот же заказ в одиночку (в днях).
Согласно условию, мастер выполнит заказ на 5 дней быстрее, чем его ученик:
[ M = U - 5. ]
Также известно, что при совместной работе они выполнят заказ на 4 дня быстрее, чем мастер в одиночку:
[ \frac{1}{M} + \frac{1}{U} = \frac{1}{M - 4}. ]
Теперь подставим ( M ) из первого уравнения во второе:
[ \frac{1}{U - 5} + \frac{1}{U} = \frac{1}{(U - 5) - 4} = \frac{1}{U - 9}. ]
Теперь решим данное уравнение. Умножим обе стороны на ( U(U - 5)(U - 9) ) для устранения дробей:
[ U(U - 9) + (U - 5)(U - 9) = U(U - 5). ]
Решим это уравнение, раскрыв скобки:
[ U^2 - 9U + (U^2 - 14U + 45) = U^2 - 5U. ]
Сложим подобные:
[ 2U^2 - 23U + 45 = U^2 - 5U. ]
Переносим всё в одну сторону:
[ 2U^2 - 23U + 45 - U^2 + 5U = 0 ]
[ U^2 - 18U + 45 = 0. ]
Теперь решим квадратное уравнение:
[ D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 324 - 180 = 144. ]
Находим корни:
[ U = \frac{18 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{18 \pm 12}{2}. ]
Тогда:
- ( U_1 = \frac{30}{2} = 15 ),
- ( U_2 = \frac{6}{2} = 3. )
Поскольку ученик должен работать дольше, возьмём ( U = 15 ). Подставим это значение для нахождения ( M ):
[ M = U - 5 = 15 - 5 = 10. ]
Таким образом, мастер выполнит заказ, работая в одиночку, за 10 дней.
Запись:
- Мастер: ( M ) (в одиночку) — 10 дней.
- Ученик: ( U ) (в одиночку) — 15 дней.
- Совместная работа — на 4 дня быстрее, чем мастер в одиночку.
