Давайте внимательно проанализируем каждое из предложений в тексте и определим правильные варианты ответов к каждому из пунктов.
Предложение 1: "Современный человек испытывает жесточайшее давление не только со стороны моды, но и в нравственном плане." Это предложение является сложносочинённым, так как содержит два самостоятельных элемента, соединённых союзом "но". Этот вариант верен.
Предложение 2: "Отрекаясь от собственного мнения, современники отказываются и от собственного нравственного выбора." Здесь есть обособленное обстоятельственное определение "Отрекаясь от собственного мнения", которое обособляется запятой. Этот вариант также верен.
Предложение 3: "Они должны признать хорошим то, что общество словом и делом выдает за таковое, и осудить то, что оно объявляет дурным." В этом предложении можно выделить три грамматические основы: "Они должны признать", "общество выдает", "оно объявляет". Этот вариант неверен, так как основ больше трех.
Предложение 4: "При этом они пытаются подавлять рождающиеся в душе сомнения, не проявляя их ни перед другими, ни перед самими собой." Сказуемое "пытаются подавлять" является составным глагольным из-за того, что состоит из глагола с инфинитивом. Этот вариант верен.
Предложение 5: "В результате нравственность человека оказывается подчинена требованиям масс." Это предложение является простым двусоставным: подлежащее "нравственность человека" и сказуемое "оказывается подчинена". Этот вариант тоже верен.
Таким образом, верные варианты ответов: 1, 2, 4, 5.