докажите что данное уравнение является уравнением окружности и укажите координаты центра и радиус этой окружности x2+y2+6x-14y-5=0
Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением окружности, и найти координаты центра и радиус, мы сначала преобразуем его к каноническому виду.
Дано уравнение:
\[ x^2 + y^2 + 6x - 14y - 5 = 0. \]
- Переносим все свободные члены в правую часть уравнения:
\[ x^2 + y^2 + 6x - 14y = 5. \]
- Теперь мы сгруппируем все члены с \(x\) и \(y\) и будем завершать квадрат.
Для \(x\):
\[ x^2 + 6x. \]
Чтобы завершить квадрат, добавим и вычтем \((\frac{6}{2})^2 = 9\):
\[ x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9. \]
Для \(y\):
\[ y^2 - 14y. \]
Чтобы завершить квадрат, добавим и вычтем \((\frac{14}{2})^2 = 49\):
\[ y^2 - 14y = (y - 7)^2 - 49. \]
Теперь подставим эти выражения обратно в уравнение:
\[ (x + 3)^2 - 9 + (y - 7)^2 - 49 = 5. \]
Сложим все свободные члены:
\[ (x + 3)^2 + (y - 7)^2 - 58 = 5. \]
Переносим -58 на правую часть:
\[ (x + 3)^2 + (y - 7)^2 = 63. \]
Теперь у нас есть уравнение в канонической форме окружности:
\[ (x - (-3))^2 + (y - 7)^2 = 63. \]
Из этого уравнения видно, что центр окружности находится в точке \((-3, 7)\), а радиус \(R\) равен \(\sqrt{63} = 3\sqrt{7}\).
Итак, в итоге:
- Координаты центра окружности: \((-3, 7)\),
- Радиус окружности: \(3\sqrt{7}\).
Это подтверждает, что данное уравнение действительно является уравнением окружности.
