Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением окружности, и найти координаты центра и радиус, мы сначала преобразуем его к каноническому виду.
Дано уравнение:
[ x^2 + y^2 + 6x - 14y - 5 = 0. ]
- Переносим все свободные члены в правую часть уравнения:
[ x^2 + y^2 + 6x - 14y = 5. ]
- Теперь мы сгруппируем все члены с (x) и (y) и будем завершать квадрат.
Для (x):
[ x^2 + 6x. ]
Чтобы завершить квадрат, добавим и вычтем ((\frac{6}{2})^2 = 9):
[ x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9. ]
Для (y):
[ y^2 - 14y. ]
Чтобы завершить квадрат, добавим и вычтем ((\frac{14}{2})^2 = 49):
[ y^2 - 14y = (y - 7)^2 - 49. ]
Теперь подставим эти выражения обратно в уравнение:
[
(x + 3)^2 - 9 + (y - 7)^2 - 49 = 5.
]
Сложим все свободные члены:
[
(x + 3)^2 + (y - 7)^2 - 58 = 5.
]
Переносим -58 на правую часть:
[
(x + 3)^2 + (y - 7)^2 = 63.
]
Теперь у нас есть уравнение в канонической форме окружности:
[
(x - (-3))^2 + (y - 7)^2 = 63.
]
Из этого уравнения видно, что центр окружности находится в точке ((-3, 7)), а радиус (R) равен (\sqrt{63} = 3\sqrt{7}).
Итак, в итоге:
- Координаты центра окружности: ((-3, 7)),
- Радиус окружности: (3\sqrt{7}).
Это подтверждает, что данное уравнение действительно является уравнением окружности.
