Чтобы найти сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, нам нужно сначала определить первый член и знаменатель прогрессии.
Обозначим первый член геометрической прогрессии как ( a ), а знаменатель как ( q ).
По условию:
- Второй член: ( a \cdot q = -3 ) (1)
- Пятый член: ( a \cdot q^4 = 81 ) (2)
Теперь выразим ( a ) из первого уравнения:
[
a = \frac{-3}{q}
]
Подставим это значение в второе уравнение:
[
\frac{-3}{q} \cdot q^4 = 81
]
Упростим уравнение:
[
-3q^3 = 81
]
Разделим обе стороны на -3:
[
q^3 = -27
]
Теперь найдём ( q ):
[
q = -3
]
Теперь подставим значение ( q ) обратно в первое уравнение, чтобы найти ( a ):
[
a \cdot (-3) = -3
]
[
a = 1
]
Теперь мы знаем, что первый член ( a = 1 ) и знаменатель ( q = -3 ).
Сейчас мы можем найти сумму первых восьми членов. Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
[
S_n = a \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
]
Подставим наши значения в формулу для ( n = 8 ):
[
S_8 = 1 \cdot \frac{1 - (-3)^8}{1 - (-3)}
]
Вычислим ( (-3)^8 ):
[
(-3)^8 = 6561
]
Таким образом, сумма будет равна:
[
S_8 = \frac{1 - 6561}{1 + 3} = \frac{1 - 6561}{4} = \frac{-6560}{4} = -1640
]
Итак, сумма первых восьми членов геометрической прогрессии равна ( -1640 ).
