Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, если ее второй член равен -3, а пятый равен 81.
Чтобы найти сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, нам нужно сначала определить первый член и знаменатель прогрессии.
Обозначим первый член геометрической прогрессии как \( a \), а знаменатель как \( q \).
По условию:
- Второй член: \( a \cdot q = -3 \) (1)
- Пятый член: \( a \cdot q^4 = 81 \) (2)
Теперь выразим \( a \) из первого уравнения: \[ a = \frac{-3}{q} \]
Подставим это значение в второе уравнение: \[ \frac{-3}{q} \cdot q^4 = 81 \]
Упростим уравнение: \[ -3q^3 = 81 \]
Разделим обе стороны на -3: \[ q^3 = -27 \]
Теперь найдём \( q \): \[ q = -3 \]
Теперь подставим значение \( q \) обратно в первое уравнение, чтобы найти \( a \): \[ a \cdot (-3) = -3 \] \[ a = 1 \]
Теперь мы знаем, что первый член \( a = 1 \) и знаменатель \( q = -3 \).
Сейчас мы можем найти сумму первых восьми членов. Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = a \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \]
Подставим наши значения в формулу для \( n = 8 \): \[ S_8 = 1 \cdot \frac{1 - (-3)^8}{1 - (-3)} \]
Вычислим \( (-3)^8 \): \[ (-3)^8 = 6561 \]
Таким образом, сумма будет равна: \[ S_8 = \frac{1 - 6561}{1 + 3} = \frac{1 - 6561}{4} = \frac{-6560}{4} = -1640 \]
Итак, сумма первых восьми членов геометрической прогрессии равна \( -1640 \).
