Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AВ и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 30, BC = 10 и CF : DF = 3 :…

Чтобы найти длину отрезка EF в трапеции ABCD, где прямая, параллельная основаниям, пересекает боковые стороны AB и CD в точках E и F, и даны данные о длине оснований AD и BC, а также соотношении отрезков CF и DF, мы можем использовать свойства подобия треугольников и пропорциональности.

1. Обозначим длину отрезка CF как \( 3x \), а длину отрезка DF как \( 7x \) (согласно соотношению 3:7). Тогда общая длина отрезка CD можно записать следующим образом:

   \[ CF + DF = 3x + 7x = 10x. \]

2. Далее, мы знаем, что длина основания AD равна 30, а длина основания BC равна 10. Поскольку прямая EF параллельна основаниям AB и CD, отрезки EF, AD и BC будут находиться в аналогичных пропорциях. Обозначим длину отрезка EF как \( y \).

3. У нас есть следующие пропорции:

   \[ \frac{y - 10}{30 - y} = \frac{CF}{DF}. \]

   Подставим значения CF и DF:

   \[ \frac{y - 10}{30 - y} = \frac{3x}{7x} = \frac{3}{7}. \]

4. Теперь можно решить это уравнение. Крестным умножением получаем:

   \[ 7(y - 10) = 3(30 - y). \]

   Раскроем скобки:

   \[ 7y - 70 = 90 - 3y. \]

5. Переносим все члены с \( y \) в одну сторону, а постоянные в другую:

   \[ 7y + 3y = 90 + 70, \] \[ 10y = 160. \]

6. Теперь делим обе стороны на 10:

   \[ y = 16. \]

Таким образом, длина отрезка EF равна 16.