Для решения данной задачи используем закон Кулона и формулу для силы взаимодействия между линейно заряженным телом и точечным зарядом.
Обозначим:
- ( L = 20 , \text{см} = 0.2 , \text{м} ) - длина стержня;
- ( d = 10 , \text{см} = 0.1 , \text{м} ) - расстояние от точечного заряда до ближайшего конца стержня;
- ( Q = 40 , \text{нКл} = 40 \times 10^{-9} , \text{Кл} ) - величина точечного заряда;
- ( F = 6 , \text{мкН} = 6 \times 10^{-6} , \text{Н} ) - сила взаимодействия.
Обозначим линейную плотность заряда на стержне как ( \lambda ).
Сила ( F ), действующая между линейно заряженным стержнем и точечным зарядом, может быть выражена через интеграл.
Для линейно заряженного стержня с равномерной плотностью заряда (\lambda), имеем:
[
F = k \int_0^{L} \frac{\lambda , dx}{(d + x)^2}
]
где ( k ) - электрическая постоянная (( k \approx 8.99 \times 10^9 , \text{Н м}^2/\text{Кл}^2 )).
Здесь ( x ) - это переменная, которая пробегает от 0 до 0.2 (длина стержня).
Теперь подставим это выражение и решим его:
[
F = k \lambda \int_0^{L} \frac{dx}{(d + x)^2}
]
Поделим оба выражения на константы, получим:
[
F = k \lambda \left[-\frac{1}{d+x}\right]_0^{L} = k \lambda \left[-\frac{1}{d+L} + \frac{1}{d}\right]
]
Подставляем значения:
[
F = k \lambda \left[-\frac{1}{0.1 + 0.2} + \frac{1}{0.1}\right] = k \lambda \left[-\frac{1}{0.3} + 10\right]
]
[
F = k \lambda \left[10 - \frac{10}{3}\right] = k \lambda \left[\frac{30 - 10}{3}\right] = k \lambda \left[\frac{20}{3}\right]
]
Теперь подставим значение ( F ):
[
6 \times 10^{-6} = 8.99 \times 10^9 \cdot \lambda \cdot \frac{20}{3}
]
Решим для ( \lambda ):
[
\lambda = \frac{6 \times 10^{-6} \cdot 3}{8.99 \times 10^9 \cdot 20}
]
[
\lambda \approx \frac{18 \times 10^{-6}}{179800000} \approx 1.00 \times 10^{-13} , \text{Кл/м}
]
Таким образом, линейная плотность заряда на стержне составляет примерно ( 1.00 \times 10^{-13} , \text{Кл/м} ).
