В данном отрывке можно выделить три деепричастия, которые играют важную роль в предложениях. Давайте разберем их:
"разлеглась" (разложившись) – это деепричастие образовано от глагола "разлечься". Оно обозначает действие, которое происходит одновременно с главным. В предложении "Она разлеглась среди комнаты, протянула ноги и, чувствуя во всём теле приятную истому, завиляла хвостом" деепричастие "чувствуя" указывает на состояние Каштанки во время действия "разлеглась".
"проваливаясь" – образованное от глагола "провалиться", это деепричастие также указывает на одновременность действия. В приведенном предложении это деепричастие показывает, что Каштанка в то время, как она решает, где ей лучше: у незнакомца или у столяра, испытывает состояние.
"глядя" (умильно глядя) – это деепричастие от глагола "глядеть". В предложении "Когда Каштанка сидела перед столом и умильно глядела на него" деепричастие указывает на способ, с которым Каштанка смотрела на нового хозяина, а также показывает, что она делает это в момент, когда она сидит перед ним.
Таким образом, в русском языке деепричастия не только расширяют значение глагола, но и помогают передать дополнительные действия и состояния, происходящие одновременно с основным действием.