Для решения данной задачи воспользуемся законом о средней квадратичной скорости молекул газа. Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа выражается формулой:
[ v_{ср. кв.} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} ]
где:
- ( v_{ср. кв.} ) — средняя квадратичная скорость,
- ( k ) — постоянная Больцмана,
- ( T ) — температура в Кельвинах,
- ( m ) — масса одной молекулы газа.
В этой задаче нам нужно найти температуру ( T_2 ) для кислорода (( O_2 )), при которой его средняя квадратичная скорость будет равна средней квадратичной скорости молекул водорода (( H_2 )) при температуре ( T_1 = 100 , K ).
Молекулы водорода имеют массу ( m_{H_2} = 2 \times m_{H} ) (где ( m_{H} ) — масса водорода), а молекулы кислорода имеют массу ( m_{O_2} = 2 \times m_{O} ) (где ( m_{O} ) — масса кислорода).
Из формул для средней квадратичной скорости молекул водорода и кислорода у нас получится:
[
v_{H_2} = \sqrt{\frac{3kT_1}{m_{H_2}}}
]
[
v_{O_2} = \sqrt{\frac{3kT_2}{m_{O_2}}}
]
Приравняем их:
[
\sqrt{\frac{3kT_1}{m_{H_2}}} = \sqrt{\frac{3kT_2}{m_{O_2}}}
]
Упрощая уравнение, получим:
[
\frac{T_1}{m_{H_2}} = \frac{T_2}{m_{O_2}}
]
Отсюда можно выразить температуру кислорода:
[
T_2 = T_1 \cdot \frac{m_{O_2}}{m_{H_2}}
]
И подставим данные:
- Масса одной молекулы водорода (( H_2 )) составляет приблизительно ( 2 , \text{г/моль} ).
- Масса одной молекулы кислорода (( O_2 )) составляет приблизительно ( 32 , \text{г/моль} ).
Предположим, что в расчетах мы используем молекулярные массы в Кг/моль. Тогда:
[
m_{H_2} = 2 \times 10^{-3} , \text{кг/моль}
]
[
m_{O_2} = 32 \times 10^{-3} , \text{кг/моль}
]
Теперь подставим значения:
[
T_2 = 100 \cdot \frac{32 \times 10^{-3}}{2 \times 10^{-3}} = 100 \cdot 16 = 1600 , K
]
Таким образом, для достижения одинаковой средней квадратичной скорости молекул кислорода температура должна составлять 1600 К.
