X²+y²=25 xy=12

Чтобы решить систему уравнений, состоящую из уравнений \(x^2 + y^2 = 25\) и \(xy = 12\), начнем с первого уравнения, которое представляет собой уравнение окружности радиуса 5. 1. У нас есть два уравнения: \[ x^2 + y^2 = 25 \] \[ xy = 12 \] 2. Мы можем выразить \(y\) через \(x\) из второго уравнения: \[ y = \frac{12}{x} \] 3. Подставим это значение \(y\) во первое уравнение: \[ x^2 + \left(\frac{12}{x}\right)^2 = 25 \] 4. Упрощаем уравнение: \[ x^2 + \frac{144}{x^2} = 25 \] 5. Умножим обе стороны на \(x^2\) (предполагая, что \(x \neq 0\)): \[ x^4 - 25x^2 + 144 = 0 \] 6. Обозначим \(z = x^2\). Теперь у нас получается квадратное уравнение: \[ z^2 - 25z + 144 = 0 \] 7. Используем формулу дискриминанта для решения квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49 \] 8. Теперь найдём корни: \[ z_{1,2} = \frac{25 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{25 \pm 7}{2} \] Получаем два значения: \[ z_1 = \frac{32}{2} = 16 \quad \text{и} \quad z_2 = \frac{18}{2} = 9 \] 9. Теперь возвращаемся к \(x\): \[ x^2 = 16 \implies x = 4 \text{ или } x = -4 \] \[ x^2 = 9 \implies x = 3 \text{ или } x = -3 \] 10. Теперь вычислим соответствующие значения \(y\): - Если \(x = 4\), тогда \(y = \frac{12}{4} = 3\). - Если \(x = -4\), тогда \(y = \frac{12}{-4} = -3\). - Если \(x = 3\), тогда \(y = \frac{12}{3} = 4\). - Если \(x = -3\), тогда \(y = \frac{12}{-3} = -4\). В итоге, пара решений: 1. \( (4, 3) \) 2. \( (-4, -3) \) 3. \( (3, 4) \) 4. \( (-3, -4) \) Таким образом, у нас есть 4 пары \((x, y)\), которые удовлетворяют данной системе уравнений.