x²+y²=25 xy=12
Чтобы решить систему уравнений, состоящую из уравнений \(x^2 + y^2 = 25\) и \(xy = 12\), начнем с первого уравнения, которое представляет собой уравнение окружности радиуса 5.
У нас есть два уравнения: \[ x^2 + y^2 = 25 \] \[ xy = 12 \]
Мы можем выразить \(y\) через \(x\) из второго уравнения: \[ y = \frac{12}{x} \]
Подставим это значение \(y\) во первое уравнение: \[ x^2 + \left(\frac{12}{x}\right)^2 = 25 \]
Упрощаем уравнение: \[ x^2 + \frac{144}{x^2} = 25 \]
Умножим обе стороны на \(x^2\) (предполагая, что \(x \neq 0\)): \[ x^4 - 25x^2 + 144 = 0 \]
Обозначим \(z = x^2\). Теперь у нас получается квадратное уравнение: \[ z^2 - 25z + 144 = 0 \]
Используем формулу дискриминанта для решения квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49 \]
Теперь найдём корни: \[ z_{1,2} = \frac{25 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{25 \pm 7}{2} \]
Получаем два значения: \[ z_1 = \frac{32}{2} = 16 \quad \text{и} \quad z_2 = \frac{18}{2} = 9 \]
Теперь возвращаемся к \(x\): \[ x^2 = 16 \implies x = 4 \text{ или } x = -4 \] \[ x^2 = 9 \implies x = 3 \text{ или } x = -3 \]
Теперь вычислим соответствующие значения \(y\):
- Если \(x = 4\), тогда \(y = \frac{12}{4} = 3\).
- Если \(x = -4\), тогда \(y = \frac{12}{-4} = -3\).
- Если \(x = 3\), тогда \(y = \frac{12}{3} = 4\).
- Если \(x = -3\), тогда \(y = \frac{12}{-3} = -4\).
В итоге, пара решений:
- \( (4, 3) \)
- \( (-4, -3) \)
- \( (3, 4) \)
- \( (-3, -4) \)
Таким образом, у нас есть 4 пары \((x, y)\), которые удовлетворяют данной системе уравнений.
