При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель…
При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем — 0,8. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,97?
Давайте решим эту задачу шаг за шагом. Нам нужно найти количество выстрелов, которое требуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,97.
Для начала запишем вероятность того, что цель не будет уничтожена при каждом выстреле:
Вероятность уничтожения цели при первом выстреле \(P_1 = 0,3\), следовательно, вероятность того, что цель не будет уничтожена при первом выстреле: \[ Q_1 = 1 - P_1 = 1 - 0,3 = 0,7 \]
Вероятность уничтожения цели при каждом последующем выстреле составляет \(P_n = 0,8\), следовательно, вероятность того, что цель не будет уничтожена при каждом последующем выстреле: \[ Q_n = 1 - P_n = 1 - 0,8 = 0,2 \]
Теперь представим, что после первого выстрела мы продолжаем стрелять до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Тогда вероятность того, что цель не будет уничтожена после \(n\) выстрелов можно выразить следующим образом:
\[ Q = Q_1 \cdot Q_2 \cdot Q_3 \cdots Q_n = Q_1 \cdot Q_n^{n-1} \]
Таким образом, для первого выстрела: \[ Q = 0,7 \cdot 0,2^{(n-1)} \]
Наша цель — найти такое \(n\) (количество выстрелов), при котором вероятность уничтожения цели будет не менее 0,97. Это означает, что:
\[ 1 - Q \geq 0,97 \]
Следовательно: \[ Q \leq 0,03 \]
Подставляя значение \(Q\): \[ 0,7 \cdot 0,2^{(n-1)} \leq 0,03 \]
Теперь, делим обе стороны неравенства на 0,7: \[ 0,2^{(n-1)} \leq \frac{0,03}{0,7} \approx 0,042857 \]
Теперь применим логарифм для упрощения: \[ (n-1) \cdot \log(0,2) \leq \log(0,042857) \]
Так как \(\log(0,2)\) отрицательный, неравенство меняет свой знак: \[ n-1 \geq \frac{\log(0,042857)}{\log(0,2)} \]
Теперь рассчитаем значения логарифмов (применив калькулятор):
- \(\log(0,2) \approx -0,69897\)
- \(\log(0,042857) \approx -1,367\)
Подставим значения: \[ n-1 \geq \frac{-1,367}{-0,69897} \approx 1,96 \]
Добавим 1 для нахождения \(n\): \[ n \geq 1 + 1,96 \approx 2,96 \]
Таким образом, нам требуется не менее 3 выстрелов, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,97.
Следовательно, правильный ответ: 3 выстрела.
