Давайте решим все творческие задания по порядку!
1. Найдите производные:
а) ( y = 3\sqrt{x} - 4\tan(x) - \frac{2}{\sqrt{x^3}} )
Найдем производную ( 3\sqrt{x} ):
[
\frac{d}{dx}(3\sqrt{x}) = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{2\sqrt{x}}
]
Найдем производную ( -4\tan(x) ):
[
\frac{d}{dx}(-4\tan(x)) = -4\sec^2(x)
]
Найдем производную ( -\frac{2}{\sqrt{x^3}} = -2x^{-3/2} ):
[
\frac{d}{dx}(-2x^{-3/2}) = 3x^{-5/2} = \frac{3}{2x^{5/2}}
]
Таким образом, производная будет:
[
y' = \frac{3}{2\sqrt{x}} - 4\sec^2(x) + \frac{3}{2x^{5/2}}
]
б) ( y = \sqrt{1 - 3x^2} )
Используем правило дифференцирования функции в степени:
[
\frac{d}{dx}\sqrt{1 - 3x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1 - 3x^2}} \cdot (-6x) = \frac{-3x}{\sqrt{1 - 3x^2}}
]
в) ( y = \sin(2x) \cdot e^{2x} )
Используем правило произведения:
[
y' = \sin(2x) \cdot \frac{d}{dx}(e^{2x}) + e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin(2x))
]
[
= \sin(2x) \cdot 2e^{2x} + e^{2x} \cdot 2\cos(2x)
]
[
= e^{2x}(2\sin(2x) + 2\cos(2x)) = 2e^{2x}(\sin(2x) + \cos(2x))
]
г) ( y = \frac{2x + 1}{x - 3} )
Используем правило деления:
[
y' = \frac{(x - 3)(2) - (2x + 1)(1)}{(x - 3)^2} = \frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x - 3)^2} = \frac{-7}{(x - 3)^2}
]
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции ( f(x) = \frac{x^2 + 8}{x + 1} ) на промежутке ([0; 3]).
Сначала найдем производную функции:
[
f'(x) = \frac{(x + 1)(2x) - (x^2 + 8)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2 - 8}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 8}{(x + 1)^2}
]
Приравняем к нулю:
[
x^2 + 2x - 8 = 0
]
Решим это уравнение:
[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} = 2 \quad \text{и} \quad -4
]
Поскольку мы ищем в пределах ([0; 3]), берем ( x = 2 ) и проверяем значения в крайних точках:
- ( f(0) = \frac{0^2 + 8}{0 + 1} = 8 )
- ( f(2) = \frac{2^2 + 8}{2 + 1} = \frac{4 + 8}{3} = 4 )
- ( f(3) = \frac{3^2 + 8}{3 + 1} = \frac{9 + 8}{4} = \frac{17}{4} = 4.25 )
Наименьшее значение: ( 4 ) (в точке ( x = 2 )), наибольшее значение: ( 8 ) (в точке ( x = 0 )).
3. Вычислить предел по правилу Лопиталя:
[
\lim_{x \to \infty} \frac{x^4 - 5x^2 + 5}{\ln(2x + 1)}
]
При ( x \to \infty ) и в числителе, и в знаменателе получаем форму ( \frac{\infty}{\infty} ), поэтому можем применить правило Лопиталя. Найдем производные числителя и знаменателя:
Числитель:
[
\frac{d}{dx}(x^4 - 5x^2 + 5) = 4x^3 - 10x
]
Знаменатель:
[
\frac{d}{dx}(\ln(2x + 1)) = \frac{2}{2x + 1}
]
Теперь применяем правило Лопиталя:
[
\lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 - 10x}{\frac{2}{2x + 1}} = \lim_{x \to \infty} (4x^3 - 10x) \cdot \frac{2x + 1}{2}
]
[
= \lim_{x \to \infty} (4x^3(2x + 1) - 10x(2x + 1))/2
]
[
= \lim_{x \to \infty} \frac{8x^4 + 4x^3 - 20x^2 - 10x}{2} = \infty
]
Следовательно, предел равен ( \infty ).
Если у вас возникнут дополнительные вопросы или потребуется разъяснение, не стесняйтесь обращаться!
