Вариант 1 1. Найдите производные: а) y = 3√(x) - 4 tg(x) - \frac{2}{\sqrt{x^3}} б) y = √(1 - 3x^2) в) y = sin(2x) * e^(2x) г) y = \frac{2x + 1}{x - 3} 2. Найдите наибольшее и…
Вариант 1 1. Найдите производные: а) y = 3√(x) - 4 tg(x) - \frac{2}{\sqrt{x^3}} б) y = √(1 - 3x^2) в) y = sin(2x) * e^(2x) г) y = \frac{2x + 1}{x - 3} 2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = \frac{x^2 + 8}{x + 1} на промежутке [0; 3]. 3. Вычислить предел по правилу Лопиталя: \lim_{x \to \infty} \frac{x^4 - 5x^2 + 5}{\ln(2x + 1)}
Давайте решим все творческие задания по порядку!
1. Найдите производные:
а) \( y = 3\sqrt{x} - 4\tan(x) - \frac{2}{\sqrt{x^3}} \)
Найдем производную \( 3\sqrt{x} \): \[ \frac{d}{dx}(3\sqrt{x}) = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{2\sqrt{x}} \]
Найдем производную \( -4\tan(x) \): \[ \frac{d}{dx}(-4\tan(x)) = -4\sec^2(x) \]
Найдем производную \( -\frac{2}{\sqrt{x^3}} = -2x^{-3/2} \): \[ \frac{d}{dx}(-2x^{-3/2}) = 3x^{-5/2} = \frac{3}{2x^{5/2}} \]
Таким образом, производная будет: \[ y' = \frac{3}{2\sqrt{x}} - 4\sec^2(x) + \frac{3}{2x^{5/2}} \]
б) \( y = \sqrt{1 - 3x^2} \)
Используем правило дифференцирования функции в степени: \[ \frac{d}{dx}\sqrt{1 - 3x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1 - 3x^2}} \cdot (-6x) = \frac{-3x}{\sqrt{1 - 3x^2}} \]
в) \( y = \sin(2x) \cdot e^{2x} \)
Используем правило произведения: \[ y' = \sin(2x) \cdot \frac{d}{dx}(e^{2x}) + e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin(2x)) \] \[ = \sin(2x) \cdot 2e^{2x} + e^{2x} \cdot 2\cos(2x) \] \[ = e^{2x}(2\sin(2x) + 2\cos(2x)) = 2e^{2x}(\sin(2x) + \cos(2x)) \]
г) \( y = \frac{2x + 1}{x - 3} \)
Используем правило деления: \[ y' = \frac{(x - 3)(2) - (2x + 1)(1)}{(x - 3)^2} = \frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x - 3)^2} = \frac{-7}{(x - 3)^2} \]
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = \frac{x^2 + 8}{x + 1} \) на промежутке \([0; 3]\).
Сначала найдем производную функции: \[ f'(x) = \frac{(x + 1)(2x) - (x^2 + 8)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2 - 8}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 8}{(x + 1)^2} \]
Приравняем к нулю: \[ x^2 + 2x - 8 = 0 \]
Решим это уравнение: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} = 2 \quad \text{и} \quad -4 \]
Поскольку мы ищем в пределах \([0; 3]\), берем \( x = 2 \) и проверяем значения в крайних точках:
- \( f(0) = \frac{0^2 + 8}{0 + 1} = 8 \)
- \( f(2) = \frac{2^2 + 8}{2 + 1} = \frac{4 + 8}{3} = 4 \)
- \( f(3) = \frac{3^2 + 8}{3 + 1} = \frac{9 + 8}{4} = \frac{17}{4} = 4.25 \)
Наименьшее значение: \( 4 \) (в точке \( x = 2 \)), наибольшее значение: \( 8 \) (в точке \( x = 0 \)).
3. Вычислить предел по правилу Лопиталя:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^4 - 5x^2 + 5}{\ln(2x + 1)} \]
При \( x \to \infty \) и в числителе, и в знаменателе получаем форму \( \frac{\infty}{\infty} \), поэтому можем применить правило Лопиталя. Найдем производные числителя и знаменателя:
Числитель: \[ \frac{d}{dx}(x^4 - 5x^2 + 5) = 4x^3 - 10x \]
Знаменатель: \[ \frac{d}{dx}(\ln(2x + 1)) = \frac{2}{2x + 1} \]
Теперь применяем правило Лопиталя: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 - 10x}{\frac{2}{2x + 1}} = \lim_{x \to \infty} (4x^3 - 10x) \cdot \frac{2x + 1}{2} \] \[ = \lim_{x \to \infty} (4x^3(2x + 1) - 10x(2x + 1))/2 \] \[ = \lim_{x \to \infty} \frac{8x^4 + 4x^3 - 20x^2 - 10x}{2} = \infty \]
Следовательно, предел равен \( \infty \).
Если у вас возникнут дополнительные вопросы или потребуется разъяснение, не стесняйтесь обращаться!
