Для решения данной задачи, давайте воспользуемся формулой для коэффициента полезного действия (КПД) идеальной тепловой машины, известной как формула Карно:
[
\eta = 1 - \frac{T_h}{T_c}
]
где ( \eta ) — это КПД, ( T_h ) — температура нагревателя в Кельвинах, а ( T_c ) — температура холодильника в Кельвинах.
Обозначим первоначальные температуры нагревателя и холодильника как ( T_h ) и ( T_c ) соответственно.
После изменения:
Температура нагревателя увеличилась на 10%, то есть новая температура станет:
[
T_h' = T_h \cdot 1.1
]
Температура холодильника уменьшилась на 20%, то есть новая температура станет:
[
T_c' = T_c \cdot 0.8
]
Теперь можем выразить новый коэффициент полезного действия (КПД) по измененным температурам:
[
\eta' = 1 - \frac{T_h'}{T_c'} = 1 - \frac{1.1 \cdot T_h}{0.8 \cdot T_c} = 1 - \frac{1.1}{0.8} \cdot \frac{T_h}{T_c}
]
Известно, что новый КПД (\eta' = 0.4). Таким образом, имеем:
[
0.4 = 1 - \frac{1.1}{0.8} \cdot \frac{T_h}{T_c}
]
Перепишем уравнение:
[
\frac{1.1}{0.8} \cdot \frac{T_h}{T_c} = 1 - 0.4 = 0.6
]
Решим его:
[
\frac{1.1}{0.8} \cdot \frac{T_h}{T_c} = 0.6
]
Теперь выразим (\frac{T_h}{T_c}):
[
\frac{T_h}{T_c} = 0.6 \cdot \frac{0.8}{1.1} = \frac{0.48}{1.1} = \frac{48}{110} = \frac{24}{55}
]
Теперь возвращаемся к первоначальному КПД:
[
\eta = 1 - \frac{T_h}{T_c} = 1 - \frac{24}{55} = \frac{55 - 24}{55} = \frac{31}{55}
]
Переведем это значение в проценты:
[
\eta = \frac{31}{55} \cdot 100 \approx 56.36%
]
Таким образом, первоначальный КПД тепловой машины составляет примерно 56.36%.
