Исследовать функцию с помощью производной и построить еë график f(x)=3x-x^2
Чтобы исследовать функцию \( f(x) = 3x - x^2 \) с помощью производной и построить её график, мы можем следовать нескольким шагам.
Найдем производную функции: Для функции \( f(x) = 3x - x^2 \) применим правило дифференцирования:
\[ f'(x) = 3 - 2x \]
Определим критические точки: Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не определена. Найдем, где \( f'(x) = 0 \):
\[ 3 - 2x = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} \]
Также необходимо проверить, где производная не определена. В данном случае \( f'(x) \) определена на всей числовой прямой.
Исследуем знаки производной: Теперь можем изучить знаки производной, чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции. Рассмотрим знак производной в интервалах:
- Для \( x < \frac{3}{2} \) (например, \( x = 0 \)): \[ f'(0) = 3 - 2(0) = 3 > 0 \quad (\text{возрастает}) \]
- Для \( x > \frac{3}{2} \) (например, \( x = 2 \)): \[ f'(2) = 3 - 2(2) = -1 < 0 \quad (\text{убывает}) \]
Таким образом, функция возрастает на интервале \( (-\infty, \frac{3}{2}) \) и убывает на интервале \( (\frac{3}{2}, +\infty) \).
Найдем значение функции в критической точке: Подставляя \( x = \frac{3}{2} \) в функцию, мы найдем максимум: \[ f\left(\frac{3}{2}\right) = 3 \cdot \frac{3}{2} - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{2} - \frac{9}{4} = \frac{9}{4} = 2.25 \]
Таким образом, точка максимума: \( \left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right) \).
Определим вторую производную: Для подтверждения, что это максимум, можем также найти вторую производную: \[ f''(x) = -2 \] Поскольку вторая производная отрицательна, это подтверждает, что в точке \( x = \frac{3}{2} \) у нас действительно максимум.
Построение графика: Теперь мы имеем критические точки и знаки производной. Мы можем построить график функции \( f(x) \):
- Функция возрастает до \( x = \frac{3}{2} \) и достигает максимума \( \left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right) \).
- Затем начинается убывать.
График функции будет параболой, открытой вниз, с вершиной в точке \( \left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right) \).
Теперь вы можете нарисовать график с этими данными, и он будет иметь вид параболы, максимальная точка которой находится в \( \left(\frac{3}{2}, 2.25\right) \).
