x²-17x+72<0
Чтобы решить неравенство \( x^2 - 17x + 72 < 0 \), давайте сначала найдем корни соответствующего уравнения \( x^2 - 17x + 72 = 0 \) с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \( a = 1 \), \( b = -17 \), \( c = 72 \).
Рассчитаем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 289 - 288 = 1 \]
Так как дискриминант больше нуля, у уравнения есть два различных корня. Теперь подставим значения:
\[ x = \frac{17 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{17 \pm 1}{2} \]
Таким образом, получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{18}{2} = 9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{16}{2} = 8 \]
Теперь у нас есть корни \( x_1 = 9 \) и \( x_2 = 8 \).
Чтобы определить, какие интервалы удовлетворяют неравенству \( x^2 - 17x + 72 < 0 \), рассмотрим знаки функции \( f(x) = x^2 - 17x + 72 \) в интервалах:
- \( x < 8 \)
- \( 8 < x < 9 \)
- \( x > 9 \)
Теперь подставим тестовые значения в каждый из этих интервалов:
Для \( x < 8 \) (например, \( x = 0 \)): \[ f(0) = 0^2 - 17 \cdot 0 + 72 = 72 \quad (\text{положительно}) \]
Для \( 8 < x < 9 \) (например, \( x = 8.5 \)): \[ f(8.5) = (8.5)^2 - 17 \cdot 8.5 + 72 = 72.25 - 144.5 + 72 = -0.25 \quad (\text{отрицательно}) \]
Для \( x > 9 \) (например, \( x = 10 \)): \[ f(10) = 10^2 - 17 \cdot 10 + 72 = 100 - 170 + 72 = 2 \quad (\text{положительно}) \]
Таким образом, функция \( f(x) < 0 \) на интервале \( (8, 9) \).
Итак, ответом будет:
\[ \boxed{(8, 9)} \]
Это означает, что неравенство \( x^2 - 17x + 72 < 0 \) истинно для всех \( x \) в интервале от 8 до 9, не включая сами границы.
