X²-17x+72<0

Чтобы решить неравенство \( x^2 - 17x + 72 < 0 \), давайте сначала найдем корни соответствующего уравнения \( x^2 - 17x + 72 = 0 \) с помощью формулы корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \( a = 1 \), \( b = -17 \), \( c = 72 \). Рассчитаем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 289 - 288 = 1 \] Так как дискриминант больше нуля, у уравнения есть два различных корня. Теперь подставим значения: \[ x = \frac{17 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{17 \pm 1}{2} \] Таким образом, получаем два корня: \[ x_1 = \frac{18}{2} = 9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{16}{2} = 8 \] Теперь у нас есть корни \( x_1 = 9 \) и \( x_2 = 8 \). Чтобы определить, какие интервалы удовлетворяют неравенству \( x^2 - 17x + 72 < 0 \), рассмотрим знаки функции \( f(x) = x^2 - 17x + 72 \) в интервалах: 1. \( x < 8 \) 2. \( 8 < x < 9 \) 3. \( x > 9 \) Теперь подставим тестовые значения в каждый из этих интервалов: - Для \( x < 8 \) (например, \( x = 0 \)): \[ f(0) = 0^2 - 17 \cdot 0 + 72 = 72 \quad (\text{положительно}) \] - Для \( 8 < x < 9 \) (например, \( x = 8.5 \)): \[ f(8.5) = (8.5)^2 - 17 \cdot 8.5 + 72 = 72.25 - 144.5 + 72 = -0.25 \quad (\text{отрицательно}) \] - Для \( x > 9 \) (например, \( x = 10 \)): \[ f(10) = 10^2 - 17 \cdot 10 + 72 = 100 - 170 + 72 = 2 \quad (\text{положительно}) \] Таким образом, функция \( f(x) < 0 \) на интервале \( (8, 9) \). Итак, ответом будет: \[ \boxed{(8, 9)} \] Это означает, что неравенство \( x^2 - 17x + 72 < 0 \) истинно для всех \( x \) в интервале от 8 до 9, не включая сами границы.