Упростите выражение: 5/4√75+√2(√8-√24)

Чтобы упростить выражение \( \frac{5}{4}\sqrt{75} + \sqrt{2}(\sqrt{8} - \sqrt{24}) \), начнем с упрощения каждого компонента.

1. Упростим \( \sqrt{75} \): \[ \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \] Теперь подставим это обратно в выражение: \[ \frac{5}{4}\sqrt{75} = \frac{5}{4} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{25}{4}\sqrt{3} \]

2. Упростим \( \sqrt{8} \): \[ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \]

3. Упростим \( \sqrt{24} \): \[ \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6} \]

4. Теперь подставим упрощенные значения в выражение: \[ \sqrt{2}(\sqrt{8} - \sqrt{24}) = \sqrt{2}(2\sqrt{2} - 2\sqrt{6}) = \sqrt{2}(2(\sqrt{2} - \sqrt{6})) \] Это равняется: \[ 2\sqrt{2}(\sqrt{2} - \sqrt{6}) \] А затем: \[ 2(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}) = 2(2 - \sqrt{12}) = 4 - 2\sqrt{12} \] И \( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \), поэтому: \[ 4 - 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} \]

5. Теперь объединяем всё вместе: \[ \frac{25}{4}\sqrt{3} + (4 - 4\sqrt{3}) \]

6. Чтобы объединить дробь и целые числа, преобразуем \( 4 \) в дробь с тем же знаменателем: \[ 4 = \frac{16}{4} \]

Теперь у нас есть: \[ \frac{25}{4}\sqrt{3} + \frac{16}{4} - \frac{16}{4}\sqrt{3} = \frac{25 - 16}{4}\sqrt{3} + \frac{16}{4} = \frac{9}{4}\sqrt{3} + 4 \]

Итак, окончательное упрощенное выражение: \[ 4 + \frac{9}{4}\sqrt{3} \]

Таким образом, результатом упрощения является \( 4 + \frac{9}{4}\sqrt{3} \).