Чтобы найти сумму дробей (-\frac{16 + 7x}{(x - 4)^2} + \frac{x - x^2}{(4 - x)^2}), сначала заметим, что ((4 - x)^2 = (-(x - 4))^2 = (x - 4)^2). Таким образом, дроби имеют одинаковый знаменатель.
Теперь мы можем переписать выражение:
[
-\frac{16 + 7x}{(x - 4)^2} + \frac{x - x^2}{(x - 4)^2}
]
Теперь совместим дроби в одну:
[
\frac{-(16 + 7x) + (x - x^2)}{(x - 4)^2}
]
Упростим числитель:
[
-(16 + 7x) + (x - x^2) = -16 - 7x + x - x^2 = -x^2 - 6x - 16
]
Таким образом, мы получили следующее выражение:
[
-\frac{x^2 + 6x + 16}{(x - 4)^2}
]
В результате, сумма дробей равна:
[
-\frac{x^2 + 6x + 16}{(x - 4)^2}
]
Теперь проверим, можно ли упростить числитель (x^2 + 6x + 16). Для этого найдем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 36 - 64 = -28
]
Дискриминант отрицательный, значит, корней нет, и выражение не разлагается на множители.
Следовательно, окончательная форма выражения:
[
-\frac{x^2 + 6x + 16}{(x - 4)^2}
]
