В вашем вопросе нужно выбрать предложение, в котором нет приложения.
Посмотрим на каждое из предложений:
"Савелий, старый сторож, и тот не смог уследить за амбаром." – Здесь есть приложение "старый сторож", которое уточняет, кто такой Савелий.
"Вчера в газете было опубликовано расписание соревнований по волейболу среди юниоров." – Это предложение не содержит приложений. В нём представлено главное предложение без дополнительных уточняющих элементов.
"А. С. Пушкин, великий русский писатель, известен каждому образованному человеку." – Здесь также есть приложение "великий русский писатель".
"Вот теперь он стал похож на охотника-промысловика." – Это предложение не содержит приложения.
Таким образом, правильный ответ – второе предложение: "Вчера в газете было опубликовано расписание соревнований по волейболу среди юниоров." Оно не содержит приложения.