Решите уравнение x³-2x²-25x+50=0

Чтобы решить уравнение \( x^3 - 2x^2 - 25x + 50 = 0 \), можно использовать метод подбора и разложение на множители. 1. **Поиск корней уравнения методом подбора.** Начнем с возможных целых корней, используя теорему о рациональных корнях. Проверим некоторые целые числа: - Подставим \( x = 5 \): \[ 5^3 - 2 \cdot 5^2 - 25 \cdot 5 + 50 = 125 - 50 - 125 + 50 = 0 \] Таким образом, \( x = 5 \) является корнем уравнения. 2. **Разложение многочлена на множители.** Теперь мы можем разделить исходный многочлен на \( (x - 5) \) с помощью деления многочленов. Выполним деление \( x^3 - 2x^2 - 25x + 50 \) на \( x - 5 \): - \( x^3 : x = x^2 \) - Умножаем \( x^2 \) на \( x - 5 \): \( x^3 - 5x^2 \) - Вычтем из оригинала: \[ (x^3 - 2x^2) - (x^3 - 5x^2) = 3x^2 \] - Затем продолжаем: \( 3x^2 : x = 3x \) - Умножаем \( 3x \) на \( x - 5 \): \( 3x^2 - 15x \) - Вычтем: \[ (3x^2 - 25x) - (3x^2 - 15x) = -10x \] - Далее: \( -10x : x = -10 \) - Умножаем: \( -10 \cdot (x - 5) = -10x + 50 \) - Вычтем: \[ (-10x + 50) - (-10x + 50) = 0 \] Таким образом, мы получили: \[ x^3 - 2x^2 - 25x + 50 = (x - 5)(x^2 + 3x - 10) \] 3. **Решение квадратного уравнения.** Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + 3x - 10 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \] Корни квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 7}{2} \] Таким образом: 1. \( x_1 = \frac{4}{2} = 2 \) 2. \( x_2 = \frac{-10}{2} = -5 \) 4. **Итоговые корни уравнения.** У нас есть три корня: \[ x_1 = 5, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = -5 \] Таким образом, уравнение \( x^3 - 2x^2 - 25x + 50 = 0 \) имеет корни \( x = 5, x = 2, x = -5 \).