решите уравнение x³-2x²-25x+50=0
Чтобы решить уравнение \( x^3 - 2x^2 - 25x + 50 = 0 \), можно использовать метод подбора и разложение на множители.
Поиск корней уравнения методом подбора. Начнем с возможных целых корней, используя теорему о рациональных корнях. Проверим некоторые целые числа:
- Подставим \( x = 5 \): \[ 5^3 - 2 \cdot 5^2 - 25 \cdot 5 + 50 = 125 - 50 - 125 + 50 = 0 \] Таким образом, \( x = 5 \) является корнем уравнения.
Разложение многочлена на множители. Теперь мы можем разделить исходный многочлен на \( (x - 5) \) с помощью деления многочленов.
Выполним деление \( x^3 - 2x^2 - 25x + 50 \) на \( x - 5 \):
- \( x^3 : x = x^2 \)
- Умножаем \( x^2 \) на \( x - 5 \): \( x^3 - 5x^2 \)
- Вычтем из оригинала: \[ (x^3 - 2x^2) - (x^3 - 5x^2) = 3x^2 \]
- Затем продолжаем: \( 3x^2 : x = 3x \)
- Умножаем \( 3x \) на \( x - 5 \): \( 3x^2 - 15x \)
- Вычтем: \[ (3x^2 - 25x) - (3x^2 - 15x) = -10x \]
- Далее: \( -10x : x = -10 \)
- Умножаем: \( -10 \cdot (x - 5) = -10x + 50 \)
- Вычтем: \[ (-10x + 50) - (-10x + 50) = 0 \]
Таким образом, мы получили: \[ x^3 - 2x^2 - 25x + 50 = (x - 5)(x^2 + 3x - 10) \]
Решение квадратного уравнения. Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + 3x - 10 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \] Корни квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 7}{2} \] Таким образом:
\( x_1 = \frac{4}{2} = 2 \)
\( x_2 = \frac{-10}{2} = -5 \)
Итоговые корни уравнения. У нас есть три корня: \[ x_1 = 5, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = -5 \]
Таким образом, уравнение \( x^3 - 2x^2 - 25x + 50 = 0 \) имеет корни \( x = 5, x = 2, x = -5 \).
