Чтобы решить задачу, давайте используем формулу для вычисления вероятности с использованием биномиального распределения. В данной задаче у нас есть 30 деталей, из которых 6 имеют скрытый дефект, а 24 - без дефекта.
Обозначим:
- ( N = 30 ) - общее количество деталей,
- ( k = 6 ) - количество дефектных деталей,
- ( n = 7 ) - количество выбранных деталей.
Мы хотим найти вероятность того, что среди 7 выбранных деталей будет ровно 2 дефектных и ровно 3 дефектные детали.
Для биномиального распределения вероятность можно вычислить следующим образом:
[
P(X = k) = \frac{\binom{m}{k} \cdot \binom{N-m}{n-k}}{\binom{N}{n}}
]
где:
- ( \binom{m}{k} ) - количество способов выбрать ( k ) успешных исходов из ( m ) возможных (в данном случае, дефектные детали),
- ( \binom{N-m}{n-k} ) - количество способов выбрать оставшиеся ( n-k ) детали из не-дефектных,
- ( \binom{N}{n} ) - общее количество способов выбрать ( n ) деталей из ( N ).
Теперь давайте подставим значения для вероятности выпадения ровно 2 дефектных деталей (( P(X=2) )) и ровно 3 дефектных деталей (( P(X=3) )).
- Вероятность выпадения ровно 2 дефектных деталей ( ( P(X=2) ) ):
[
P(X = 2) = \frac{\binom{6}{2} \cdot \binom{24}{5}}{\binom{30}{7}}
]
- Вероятность выпадения ровно 3 дефектных деталей ( ( P(X=3) ) ):
[
P(X = 3) = \frac{\binom{6}{3} \cdot \binom{24}{4}}{\binom{30}{7}}
]
Теперь нам нужно найти отношение этих двух вероятностей:
[
\text{Отношение} = \frac{P(X = 2)}{P(X = 3)} = \frac{\binom{6}{2} \cdot \binom{24}{5}}{\binom{6}{3} \cdot \binom{24}{4}}
]
Теперь вычисляем биномиальные коэффициенты:
- ( \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 )
- ( \binom{6}{3} = 20 )
- ( \binom{24}{5} = \frac{24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 42504 )
- ( \binom{24}{4} = \frac{24 \times 23 \times 22 \times 21}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10626 )
Теперь подставим эти значения в отношение:
[
\text{Отношение} = \frac{15 \cdot 42504}{20 \cdot 10626} = \frac{637560}{212520} \approx 3
]
Таким образом, вероятность события выпадения ровно 2 дефектных деталей больше вероятности события выпадения ровно 3 дефектных деталей приблизительно в 3 раза.
