В треугольнике АВС и А₁В₁С₁ известно, что ВС : А₁В₁ = АВ : В₁С₁ = 0,4, ∠В = ∠В₁. Найдите стороны АС и А₁С₁, если их сумма равна 21 см.

В данной задаче мы имеем два треугольника: ABC и A₁B₁C₁, в которых известно отношение сторон и равенство углов. Давайте обозначим стороны треугольника ABC:

• AC = x см
• A₁C₁ = y см

Из условия мы знаем, что:

1. \( BC : A₁B₁ = 0,4 \)
2. \( AB : B₁C₁ = 0,4 \)
3. \( ∠B = ∠B₁ \)

Также известно, что \( AC + A₁C₁ = 21 \) см, что можно записать как:

\( x + y = 21 \).

Так как углы при вершине B равны и известно отношение сторон, мы можем использовать подобие треугольников.

Из данных условий следует, что:

\[ \frac{AC}{A₁C₁} = \frac{BC}{B₁C₁} = 0,4 \]

Таким образом, можем выразить одну сторону через другую:

\[ x = 0,4y. \]

Теперь подставим это выражение в уравнение суммы сторон:

\[ 0,4y + y = 21. \]

Соберем подобные:

\[ 1,4y = 21. \]

Решив это уравнение, найдем y:

\[ y = \frac{21}{1,4} = 15 см. \]

Теперь подставим значение y обратно для нахождения x:

\[ x = 0,4 \times 15 = 6 см. \]

Таким образом, находим стороны треугольника:

• AC = 6 см
• A₁C₁ = 15 см

Итак, стороны треугольника АС и А₁С₁ равны 6 см и 15 см соответственно.