Давайте проанализируем предложенные варианты.
Вот теперь он стал похож на охотника-промысловика. - В этом предложении нет приложения, так как оно содержит только подлежащее и сказуемое.
Савелий, старый сторож, и тот не смог уследить за амбаром. - Здесь присутствует приложение "старый сторож", которое уточняет, кто такой Савелий.
Вчера в газете было опубликовано расписание соревнований по волейболу среди юниоров. - В этом предложении также нет приложения, так как оно состоит из подлежащего и сказуемого с дополнением.
А. С. Пушкин, великий русский писатель, известен каждому образованному человеку. - В этом предложении есть приложение "великий русский писатель", которое уточняет, кто такой А. С. Пушкин.
Среди предложений без приложения:
- Вот теперь он стал похож на охотника-промысловика.
- Вчера в газете было опубликовано расписание соревнований по волейболу среди юниоров.
Таким образом, правильный ответ - первое предложение: Вот теперь он стал похож на охотника-промысловика.