В данном задании нужно выбрать предложение, в котором нет приложения. Рассмотрим каждое из предложений:
Вот теперь он стал похож на охотника-промысловика. – Здесь нет приложения, это простое предложение со сравнением.
Савелий, старый сторож, и тот не смог уследить за амбаром. – В этом предложении "старый сторож" является приложением к имени Савелий.
Вчера в газете было опубликовано расписание соревнований по волейболу среди юниоров. – В этом предложении нет приложения, это также простое предложение.
А. С. Пушкин, великий русский писатель, известен каждому образованному человеку. – Здесь "великий русский писатель" является приложением к имени А. С. Пушкина.
Таким образом, предложения 1 и 3 не содержат приложения. Но если вам нужно выбрать одно, то правильный ответ – "Вот теперь он стал похож на охотника-промысловика."