Даны координаты точек A ( 1 ; − 1 ) , A(1;−1), B ( 7 ; 2 ) B(7;2) и C ( 5 ; − 9 ) . C(5;−9). Найдите координаты точки D D такой, что векторы A B → AB и D C → DC равны.

Сначала найдем вектор \(\vec{AB}\) используя координаты точек \(A(1; -1)\) и \(B(7; 2)\):

\[ \vec{AB} = B - A = (7 - 1; 2 - (-1)) = (6; 3) \]

Теперь, чтобы найти точку \(D\), такая что \(\vec{DC} = \vec{AB}\), мы можем записать:

\[ \vec{DC} = C - D \]

где \(C(5; -9)\). Нам нужно, чтобы:

\[ \vec{DC} = (6; 3) \]

Таким образом, у нас есть уравнение:

\[ C - D = (6; 3) \] \[ (5; -9) - D = (6; 3) \]

Обозначим координаты точки \(D\) как \(D(x; y)\). Тогда у нас получается система уравнений:

1. \(5 - x = 6\)
2. \(-9 - y = 3\)

Решим каждое уравнение.

1. \(5 - x = 6 \Rightarrow -x = 6 - 5 \Rightarrow -x = 1 \Rightarrow x = -1\)
2. \(-9 - y = 3 \Rightarrow -y = 3 + 9 \Rightarrow -y = 12 \Rightarrow y = -12\)

Таким образом, координаты точки \(D\) равны:

\[ D(-1; -12) \]