Найдите объём и площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6 см и 8 см вокруг прямой, которая проходит через середины его меньших сторон.
Чтобы найти объём и площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6 см и 8 см вокруг прямой, проходящей через середины его меньших сторон, необходимо сначала определить, какой объём и какая поверхность будет образована.
Определяем параметры прямоугольника:
- Длины сторон: \( a = 6 \) см (меньшая сторона) и \( b = 8 \) см (большая сторона).
- Центр малой стороны находится на расстоянии \( a/2 = 3 \) см от оси вращения.
Форма тела вращения: При вращении прямоугольника вокруг своей малой стороны образуется цилиндр, у которого:
- Высота (h) равна большей стороне прямоугольника, то есть \( b = 8 \) см.
- Радиус (r) равен половине меньшей стороны, то есть \( r = a/2 = 3 \) см.
Вычисляем объём цилиндра: Формула для объёма цилиндра: \[ V = \pi r^2 h \] Подставим известные значения: \[ V = \pi (3 \text{ см})^2 (8 \text{ см}) = \pi (9 \text{ см}^2)(8 \text{ см}) = 72\pi \text{ см}^3 \]
Вычисляем площадь полной поверхности цилиндра: Формула для площади полной поверхности цилиндра: \[ S = 2\pi r h + 2\pi r^2 \] Подставим наши значения:
- Боковая поверхность: \( 2\pi r h = 2\pi (3 \text{ см})(8 \text{ см}) = 48\pi \text{ см}^2 \)
- Две основания: \( 2\pi r^2 = 2\pi (3 \text{ см})^2 = 2\pi (9 \text{ см}^2) = 18\pi \text{ см}^2 \)
Теперь сложим обе части: \[ S = 48\pi \text{ см}^2 + 18\pi \text{ см}^2 = 66\pi \text{ см}^2 \]
Итог:
- Объём тела вращения: \( V = 72\pi \text{ см}^3 \)
- Площадь полной поверхности: \( S = 66\pi \text{ см}^2 \)
Таким образом, объём тела вращения составляет \( 72\pi \) см³, а площадь его полной поверхности равна \( 66\pi \) см². Если у вас есть дополнительные вопросы, буду рад помочь!
