реши уравнение х-1/х+1-1+х/1-х=4/х²-1
Чтобы решить уравнение \( \frac{x - 1}{x + 1} - 1 + \frac{x}{1 - x} = \frac{4}{x^2 - 1} \), сначала упрощаем его.
Начнем с приведения левой части к общему знаменателю. Заметим, что \( 1 - x = -(x - 1) \), поэтому:
\[ \frac{x - 1}{x + 1} - 1 + \frac{x}{1 - x} = \frac{x - 1}{x + 1} - 1 - \frac{x}{x - 1} \]
Пишем \( -1 \) как \( -\frac{x + 1}{x + 1} \) (с общим знаменателем):
\[ = \frac{x - 1 - (x + 1) + \frac{x (x + 1)}{(1 - x)(x + 1)}}{(x + 1)(1 - x)} \]
Переписываем:
\[ = \frac{x - 1 - x - 1 + \frac{x^2 + x}{(1 - x)(x + 1)}}{(x + 1)(1 - x)} \]
Это сократится, и нам надо будет упростить.
Упрощаем \( x - x - 2 + \frac{x^2 + x}{(1 - x)(x + 1)} \):
Теперь обрабатываем правую часть:
\( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \).
Таким образом уравнение записываем как:
\[ \frac{x^2 + x - 2(1 - x)(x + 1)}{(x + 1)(1 - x)} = \frac{4}{(1 - x)(x + 1)} \]
У нас общий знаменатель, и сравниваем числители:
\[ x^2 + x - 2(1 - x)(x + 1) = 4 \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 + x - 2(1 - x)(x + 1) = x^2 + x - 2(x^2 + x - 1) = -x^2 + 2 \]
Теперь у нас равенство:
\[ -x^2 + 2 = 4 \]
Переносим все в одну сторону:
\[ -x^2 - 2 + 4 = 0 \]
или
\[ -x^2 + 2 = 0 \]
Ужимаем это как:
\[ -x^2 = -2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{2} \]
Подводим итог:
Решения уравнения: \( x = \sqrt{2} \) и \( x = -\sqrt{2} \).
Проверьте каждое решение, подставив их обратно в начальное уравнение, чтобы убедиться в правильности. Как видно, весь процесс позволяет глубже понять, как работать с дробями и уравнениями, что полезно для учебы!
