Реши уравнение х-1/х+1-1+х/1-х=4/х²-1

Чтобы решить уравнение \( \frac{x - 1}{x + 1} - 1 + \frac{x}{1 - x} = \frac{4}{x^2 - 1} \), сначала упрощаем его. 1. Начнем с приведения левой части к общему знаменателю. Заметим, что \( 1 - x = -(x - 1) \), поэтому: \[ \frac{x - 1}{x + 1} - 1 + \frac{x}{1 - x} = \frac{x - 1}{x + 1} - 1 - \frac{x}{x - 1} \] Пишем \( -1 \) как \( -\frac{x + 1}{x + 1} \) (с общим знаменателем): \[ = \frac{x - 1 - (x + 1) + \frac{x (x + 1)}{(1 - x)(x + 1)}}{(x + 1)(1 - x)} \] Переписываем: \[ = \frac{x - 1 - x - 1 + \frac{x^2 + x}{(1 - x)(x + 1)}}{(x + 1)(1 - x)} \] Это сократится, и нам надо будет упростить. 2. Упрощаем \( x - x - 2 + \frac{x^2 + x}{(1 - x)(x + 1)} \): Теперь обрабатываем правую часть: \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \). Таким образом уравнение записываем как: \[ \frac{x^2 + x - 2(1 - x)(x + 1)}{(x + 1)(1 - x)} = \frac{4}{(1 - x)(x + 1)} \] 3. У нас общий знаменатель, и сравниваем числители: \[ x^2 + x - 2(1 - x)(x + 1) = 4 \] Раскроем скобки: \[ x^2 + x - 2(1 - x)(x + 1) = x^2 + x - 2(x^2 + x - 1) = -x^2 + 2 \] Теперь у нас равенство: \[ -x^2 + 2 = 4 \] 4. Переносим все в одну сторону: \[ -x^2 - 2 + 4 = 0 \] или \[ -x^2 + 2 = 0 \] Ужимаем это как: \[ -x^2 = -2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{2} \] 5. Подводим итог: Решения уравнения: \( x = \sqrt{2} \) и \( x = -\sqrt{2} \). Проверьте каждое решение, подставив их обратно в начальное уравнение, чтобы убедиться в правильности. Как видно, весь процесс позволяет глубже понять, как работать с дробями и уравнениями, что полезно для учебы!