В приведённых вами предложениях действительно есть ошибки, связанные с неправильным построением деепричастных оборотов. Ниже исправлены предложения с комментариями:
Ошибочное предложение: "Вступая в должность начальника госпиталя, перед глазами Н.И. Пирогова предстала ужасная картина: для операций не было приспособленных помещений, кругом царила антисанитария." Исправление: "Вступая в должность начальника госпиталя, Н.И. Пирогов увидел ужасную картину: для операций не было приспособленных помещений, кругом царила антисанитария." Комментарий: Деепричастный оборот не может описывать "перед глазами".
Ошибочное предложение: "Сформулировав в сочинении собственное мнение, у меня возникла неожиданная идея." Исправление: "Сформулировав в сочинении собственное мнение, я вдруг задумался об неожиданной идее." Комментарий: Деепричастный оборот должен относиться к подлежащему.
Ошибочное предложение: "Выслушав рассказ Одиссея, царём Алкиноем было отдано распоряжение снарядить корабль, чтобы путешественник смог вернуться на родину." Исправление: "Выслушав рассказ Одиссея, Алкиноя отдал распоряжение снарядить корабль, чтобы путешественник смог вернуться на родину." Комментарий: Деепричастный оборот должен относиться к подлежащему (в данном случае к Алкиною).
Ошибочное предложение: "Исполняя эту роль, у зрителей возникло двойственное чувство от игры актёра." Исправление: "Исполняя эту роль, актёр вызвал у зрителей двойственное чувство." Комментарий: Деепричастный оборот должен относиться к действующему лицу (актёру).
Ошибочное предложение: "Расположившись на земляной насыпи, зрителям был виден весь стадион." Исправление: "Расположившись на земляной насыпи, зрители могли видеть весь стадион." Комментарий: Деепричастный оборот должен описывать тех, кто выполняет действие (зрителей).
Ошибочное предложение: "Работая над сочинением, мне было сделано замечание." Исправление: "Пока я работал над сочинением, мне сделали замечание." Комментарий: Деепричастный оборот не может указывать на лицо, которому делается замечание.
Ошибочное предложение: "Подъезжая к дому, нам послышался чей-то крик." Исправление: "Подъезжая к дому, мы вдруг услышали чей-то крик." Комментарий: Деепричастный оборот должен относиться к действующему субъекту (мы).
Исправления показывают, как правильно выстраивать предложения с деепричастными оборотами, чтобы они логично соединялись с основным действием.