Период колебаний простого маятника можно рассчитывать по формуле:
[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}, ]
где ( T ) — период, ( L ) — длина маятника, ( g ) — ускорение свободного падения.
Из условия задачи мы знаем, что для маятника с длиной 1:
[ T_1 = 3 , \text{с} \Rightarrow 3 = 2\pi\sqrt{\frac{1}{g}}. ]
Следовательно,
[ \sqrt{\frac{1}{g}} = \frac{3}{2\pi}. ]
Теперь найдем период маятника с длиной ( x ):
[ T_2 = 5 , \text{с} \Rightarrow 5 = 2\pi\sqrt{\frac{x}{g}}. ]
Из этого уравнения мы можем выразить ( \sqrt{\frac{x}{g}} ):
[ \sqrt{\frac{x}{g}} = \frac{5}{2\pi}. ]
Теперь нам нужно найти период маятника с длиной ( 1 + x ):
[ T_{1+x} = 2\pi\sqrt{\frac{1+x}{g}}. ]
Для этого сначала найдем ( \sqrt{\frac{1+x}{g}} ):
[ \frac{1+x}{g} = \frac{1}{g} + \frac{x}{g} = \frac{1}{g} + \frac{5^2}{(2\pi)^2} = \frac{1}{g} + \frac{25}{4\pi^2}. ]
Теперь подставим ( \sqrt{\frac{1}{g}} = \frac{3}{2\pi} ):
[ \frac{1}{g} = \left(\frac{3}{2\pi}\right)^2 = \frac{9}{4\pi^2}. ]
Таким образом:
[ \frac{1+x}{g} = \frac{9}{4\pi^2} + \frac{25}{4\pi^2} = \frac{34}{4\pi^2} = \frac{17}{2\pi^2}. ]
Теперь извлечем корень:
[ \sqrt{\frac{1+x}{g}} = \sqrt{\frac{17}{2\pi^2}} = \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{2}\pi}. ]
Теперь подставляем в формулу для периода:
[ T_{1+x} = 2\pi\sqrt{\frac{1+x}{g}} = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{2}\pi} = 2\cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{2}} = \sqrt{34}. ]
Теперь нам нужно выразить ( \sqrt{34} \approx 5.83 ).
В итоге мы получаем, что период маятника с длиной ( 1 + x ) будет примерно равен 5.83 с или 3(\sqrt{2}) с.
