Для решения этой задачи воспользуемся формулой для длины дуги окружности. Длина дуги (L) в окружности радиуса (R), соответствующей центральному углу (\alpha) в градусах, вычисляется по формуле:
[
L = \frac{\alpha}{360} \cdot 2 \pi R
]
В данном случае у нас есть угол (AOB = 20) градусов. Мы знаем, что длина меньшей дуги равна 25. Поскольку меньшая дуга соответствует углу 20 градусов, мы можем записать:
[
25 = \frac{20}{360} \cdot 2 \pi R
]
Теперь найдем радиус (R). Для этого сначала упростим уравнение:
[
25 = \frac{1}{18} \cdot 2 \pi R
]
Умножим обе стороны на 18:
[
450 = 2 \pi R
]
Теперь разделим обе стороны на (2 \pi):
[
R = \frac{450}{2 \pi} = \frac{225}{\pi}
]
Теперь мы можем найти длину большей дуги. Большая дуга будет соответствовать углу, равному (360 - 20 = 340) градусов. Длина большей дуги (L_{б}) будет равна:
[
L_{б} = \frac{340}{360} \cdot 2 \pi R
]
Подставим значение радиуса (R):
[
L_{б} = \frac{340}{360} \cdot 2 \pi \cdot \frac{225}{\pi}
]
Сократим (\pi):
[
L_{б} = \frac{340}{360} \cdot 2 \cdot 225
]
Упрощаем (\frac{340}{360} = \frac{17}{18}):
[
L_{б} = \frac{17}{18} \cdot 450
]
Теперь вычислим:
[
L_{б} = 425
]
Таким образом, длина большей дуги равна (425) единиц.
