1. В равнобедренном треугольнике АВС АС = ВС. Найдите АС, если высота СН = 12, АВ = 10. 2. В треугольнике АВС АС = ВС. Внешний угол при вершине В равен 146°. Найдите угол С. Ответ…

1. В равнобедренном треугольнике ABC, где AC = BC и высота CH = 12, а AB = 10. Обозначим AC = BC = x. В треугольнике AHC, который прямоугольный, по теореме Пифагора можно написать:

\[ AH^2 + CH^2 = AC^2 \]

Где \(AH = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5\) и \(CH = 12\).

Подставляем в формулу:

\[ 5^2 + 12^2 = x^2 \\ 25 + 144 = x^2 \\ x^2 = 169 \\ x = 13 \]

Таким образом, \(AC = BC = 13\).

2. В треугольнике ABC, где AC = BC, внешний угол при вершине B равен 146°. Поскольку AC = BC, мы имеем равнобедренный треугольник, и углы при основании равны. Обозначим угол C как x. Тогда:

\[ A + B + C = 180° \\ B + x = 180° \\ B = 180° - x \]

Внешний угол равен сумме внутренних углов:

\[ B + x = 146° \\ (180° - x) + x = 146° \\ 180° = 146° + x \\ x = 34° \]

Таким образом, угол C равен 34°.

3. В треугольнике ABC, где AB = BC = 53, AC = 56. Для нахождения длины медианы BM используем формулу:

\[ BM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2} \]

Подставим известные значения:

\[ BM = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 53^2 + 2 \cdot 53^2 - 56^2} \\ = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 2809 + 2 \cdot 2809 - 3136} \\ = \frac{1}{2} \sqrt{5618 + 5618 - 3136} \\ = \frac{1}{2} \sqrt{8100} \\ = \frac{1}{2} \cdot 90 = 45 \]

Таким образом, длина медианы BM равна 45.

4. В равностороннем треугольнике со стороной 12√3 биссектрису можно найти по формуле:

\[ d = \frac{a \sqrt{3}}{2} \]

Подставив a = 12√3:

\[ d = \frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} \\ = \frac{12 \cdot 3}{2} = 18 \]

Таким образом, длина биссектрисы равна 18.

5. В треугольнике ABC, где проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 84 и BC = BM. Нужно найти АН. Поскольку BM – медиана, она делит AC пополам, и AC = 84, то:

\[ AH = \frac{AC}{2} = \frac{84}{2} = 42 \]

Таким образом, AN равно 42.

6. В треугольнике ABC, где BM медиана, BN, и угол ACB = 40°. Для нахождения угла AMB используем свойства медиан. Поскольку BM является медианой:

\[ AMB + BMC = 120° \quad (\text{из плоского угла}) \]

Тем не менее, для нахождения угла AMB, нам нужно больше информации о другом угле или сторонах треугольника.

7. В треугольнике ABC, где AC = 58, BM – медиана, и BM = 37. Найдем AM с помощью свойства медианы:

\[ AM^2 + \frac{AC^2}{4} = BM^2 \]

Подставляем известные значения:

\[ AM^2 + \frac{58^2}{4} = 37^2 \\ AM^2 + 841 = 1369 \\ AM^2 = 1369 - 841 \\ AM^2 = 528 \\ AM = \sqrt{528} = 2\sqrt{132} \approx 22.9 \]

Таким образом, AM примерно равен 22.9.

8. В треугольнике ABC, угол C равен 90°, AC = 15, cosA требуется найти AB. Используем определение косинуса:

\[ \cos A = \frac{BC}{AB} \\ AB = \frac{BC}{\cos A} \]

Без знания значения значения cosA нельзя точно найти AB.

9. Площадь прямоугольного треугольника равна 117, один из острых углов равен 30°. Площадь треугольника S = (1/2) * a * b. Если один из катетов a = x, тогда другой b будет x√3.

\[ S = \frac{1}{2} * x * x\sqrt{3} = 117 \\ \frac{x^2\sqrt{3}}{2} = 117 \\ x^2\sqrt{3} = 234 \\ x^2 = \frac{234}{\sqrt{3}} \approx 78 \]

Таким образом, длина катета, прилежащего к углу 30°, равна 9.

10. В треугольнике ABC, где AS = 26, BC = √285, угол C равен 90°. Радиус описанной окружности R можно найти по формуле:

\[ R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{AC}{2} = \frac{26}{2} = 13 \]

Таким образом, радиус описанной окружности равен 13.