Взяли одну игральную кость у которой на гранях числа 1 5 2 6 причём чётные числа встречаются дважды и вторую у которой на гранях встречаются только нечётные числа 1 3 5 каждое по…
Взяли одну игральную кость у которой на гранях числа 1 5 2 6 причём чётные числа встречаются дважды и вторую у которой на гранях встречаются только нечётные числа 1 3 5 каждое по два раза в остальном эти игральные кости одинаковые случайным образом взяли одну кость из этой пары бросили её дважды известно что в каком-то порядке выпали числа 1,5 Найди вероятность того что кидали первую игральную кость
Для решения задачи воспользуемся теорией вероятностей и формулой Байеса.
Обозначим события:
- \( A \): выбрали первую кость
- \( B \): получили последовательность чисел 1 и 5 при двух бросках
Сначала найдем вероятности событий \( P(A) \) и \( P(B|A) \).
Вероятности выбора костей: Поскольку кости выбираются случайным образом, вероятность выбора первой кости: \[ P(A) = \frac{1}{2} \] Вероятность выбора второй кости: \[ P(\neg A) = \frac{1}{2} \]
Вероятность \( P(B|A) \): Теперь найдем вероятность того, что из первой кости выпало 1 и 5. Грани первой кости: 1, 2, 5, 6 (где 2 и 6 встречаются дважды).
Возможные броски:
- 1, 5
- 5, 1
Для первой кости есть следующие расчетные вероятности:
- Вероятность бросить 1 в первом броске: \( P(1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) (так как 1 появляется дважды)
- Вероятность бросить 5 во втором броске: \( P(5) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
Вероятность получения последовательности 1 и 5 при использовании первой кости: \[ P(B|A) = P(1)P(5) + P(5)P(1) = \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9} \]
- Вероятность \( P(B|\neg A) \): Теперь найдем вероятность того, что вторую кость дает 1 и 5. Грани второй кости: 1, 3, 5 (каждое число появляется дважды).
Возможные броски:
- 1, 5
- 5, 1
Вероятность бросить 1 в первом броске: \[ P(1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Вероятность бросить 5 во втором броске: \[ P(5) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Вероятность получения последовательности 1 и 5 при использовании второй кости: \[ P(B|\neg A) = P(1)P(5) + P(5)P(1) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9} \]
- Применение Формулы Байеса: Теперь мы можем найти вероятность того, что кость была первой, учитывая, что выпали 1 и 5: \[ P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{P(B|A) P(A) + P(B|\neg A) P(\neg A)} \] Подставим известные значения: \[ P(A|B) = \frac{\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{9} + \frac{1}{9}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{2}{9}} = \frac{1}{2} \]
Таким образом, вероятность того, что кидали первую игральную кость, равна \(\frac{1}{2}\).
