Катер проплыл по течению реки 72 км и вернулся обратно, затратив на это 10 часов. Вычислите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Обозначим скорость катера в стоячей воде как \( V_k \) км/ч, а скорость течения реки равна \( V_t = 3 \) км/ч.

Когда катер плывёт по течению, его эффективная скорость составляет \( V_k + V_t \), а при возвращении против течения — \( V_k - V_t \).

Сначала определим время, за которое катер проплыл в одном направлении:

1. Время в пути по течению: \[ t_1 = \frac{72}{V_k + V_t} = \frac{72}{V_k + 3} \]

2. Время в пути против течения: \[ t_2 = \frac{72}{V_k - V_t} = \frac{72}{V_k - 3} \]

Согласно условию задачи, общее время в пути составляет 10 часов: \[ t_1 + t_2 = 10 \] Подставляя выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \), получаем: \[ \frac{72}{V_k + 3} + \frac{72}{V_k - 3} = 10 \]

Умножим уравнение на \( (V_k + 3)(V_k - 3) \) для устранения дробей: \[ 72(V_k - 3) + 72(V_k + 3) = 10(V_k^2 - 9) \]

Раскроем скобки: \[ 72V_k - 216 + 72V_k + 216 = 10V_k^2 - 90 \] Объединим похожие члены: \[ 144V_k = 10V_k^2 - 90 \]

Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ 10V_k^2 - 144V_k - 90 = 0 \]

Теперь применим формулу квадратичного уравнения для нахождения корней: \[ D = b^2 - 4ac = (-144)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-90) = 20736 + 3600 = 24336 \]

Найдем корни уравнения: \[ V_k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{144 \pm \sqrt{24336}}{20} \] Найдём корень: \[ \sqrt{24336} = 156 \] Таким образом: \[ V_k = \frac{144 \pm 156}{20} \]

Находим два возможных значения \( V_k \):

1. \( V_k = \frac{300}{20} = 15 \)
2. \( V_k = \frac{-12}{20} = -0.6 \) (отрицательная скорость не имеет физического смысла)

Таким образом, скорость катера в стоячей воде составляет \( V_k = 15 \) км/ч.