Обозначим скорость катера в стоячей воде как ( V_k ) км/ч, а скорость течения реки равна ( V_t = 3 ) км/ч.
Когда катер плывёт по течению, его эффективная скорость составляет ( V_k + V_t ), а при возвращении против течения — ( V_k - V_t ).
Сначала определим время, за которое катер проплыл в одном направлении:
Время в пути по течению:
[
t_1 = \frac{72}{V_k + V_t} = \frac{72}{V_k + 3}
]
Время в пути против течения:
[
t_2 = \frac{72}{V_k - V_t} = \frac{72}{V_k - 3}
]
Согласно условию задачи, общее время в пути составляет 10 часов:
[
t_1 + t_2 = 10
]
Подставляя выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ), получаем:
[
\frac{72}{V_k + 3} + \frac{72}{V_k - 3} = 10
]
Умножим уравнение на ( (V_k + 3)(V_k - 3) ) для устранения дробей:
[
72(V_k - 3) + 72(V_k + 3) = 10(V_k^2 - 9)
]
Раскроем скобки:
[
72V_k - 216 + 72V_k + 216 = 10V_k^2 - 90
]
Объединим похожие члены:
[
144V_k = 10V_k^2 - 90
]
Перепишем уравнение в стандартной форме:
[
10V_k^2 - 144V_k - 90 = 0
]
Теперь применим формулу квадратичного уравнения для нахождения корней:
[
D = b^2 - 4ac = (-144)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-90) = 20736 + 3600 = 24336
]
Найдем корни уравнения:
[
V_k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{144 \pm \sqrt{24336}}{20}
]
Найдём корень:
[
\sqrt{24336} = 156
]
Таким образом:
[
V_k = \frac{144 \pm 156}{20}
]
Находим два возможных значения ( V_k ):
- ( V_k = \frac{300}{20} = 15 )
- ( V_k = \frac{-12}{20} = -0.6 ) (отрицательная скорость не имеет физического смысла)
Таким образом, скорость катера в стоячей воде составляет ( V_k = 15 ) км/ч.
