В треугольнике АВС АВ = 5, ВС =12. На стороне ВС выбрана точка М так, что ВМ:МС=1:2. Найдите АС, если АМ = 5 корней из 2
Решим задачу, используя координатный метод.
Обозначим точки:
- \( B(0, 0) \)
- \( C(12, 0) \)
Теперь найдем координаты точки \( M \) на отрезке \( BC \). Условие \( BM : MC = 1 : 2 \) означает, что \( M \) делит отрезок \( BC \) в отношении \( 1:2 \). Найдем координаты точки \( M \): \[ M = \left( \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 12}{1 + 2}, \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 0}{1 + 2} \right) = \left( \frac{12}{3}, 0 \right) = (4, 0). \]
Теперь пусть точка \( A \) имеет координаты \( (x, y) \). Из условия задачи мы знаем, что \( AM = 5\sqrt{2} \). Используя формулу расстояния, получим: \[ AM = \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 0)^2} = 5\sqrt{2}. \] Квадратируем обе стороны: \[ (x - 4)^2 + y^2 = (5\sqrt{2})^2. \] Таким образом, \[ (x - 4)^2 + y^2 = 50. \]
Теперь мы знаем, что длина стороны \( AB \) равна 5. То есть, \[ AB = \sqrt{x^2 + y^2} = 5. \] Квадратируем обе стороны: \[ x^2 + y^2 = 25. \]
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- \( (x - 4)^2 + y^2 = 50 \)
- \( x^2 + y^2 = 25 \)
Решаем первое уравнение: \[ (x - 4)^2 + y^2 = 50 \Rightarrow x^2 - 8x + 16 + y^2 = 50. \] Подставляем второе уравнение в первое: \[ 25 - 8x + 16 = 50 \Rightarrow -8x + 41 = 50 \Rightarrow -8x = 9 \Rightarrow x = -\frac{9}{8}. \]
Теперь подставим \( x \) в второе уравнение для нахождения \( y \): \[ \left(-\frac{9}{8}\right)^2 + y^2 = 25 \Rightarrow \frac{81}{64} + y^2 = 25. \] Сначала переведем 25 в дробь: \[ 25 = \frac{1600}{64} \Rightarrow \frac{81}{64} + y^2 = \frac{1600}{64}. \] Теперь решим для \( y^2 \): \[ y^2 = \frac{1600 - 81}{64} = \frac{1519}{64} \Rightarrow y = \pm \sqrt{\frac{1519}{64}} = \pm \frac{\sqrt{1519}}{8}. \]
Теперь, чтобы найти \( AC \), используем координаты: \[ AC = \sqrt{(x - 12)^2 + y^2} = \sqrt{\left(-\frac{9}{8} - 12\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{1519}}{8}\right)^2}. \] Сначала найдем \( -\frac{9}{8} - 12 = -\frac{105}{8} \): \[ AC = \sqrt{\left(-\frac{105}{8}\right)^2 + \frac{1519}{64}}. \] Теперь вычислим: \[ =\sqrt{\frac{11025}{64} + \frac{1519}{64}} = \sqrt{\frac{11025 + 1519}{64}} = \sqrt{\frac{12544}{64}} = \frac{\sqrt{12544}}{8} = \frac{112}{8} = 14. \]
Таким образом, длина стороны \( AC \) равна \( 14 \).
