Требуется вырыть силосную яму объемом V-800 м³ с квадратным дном таких размеров, чтобы на облицов ку ее дна и стен пошло наименьнее количество материала. Каковы должны быть…

Для решения данной задачи используем метод оптимизации.

Пусть \( x \) — длина стороны квадрата основания силосной ямы, а \( h \) — высота ямы. Объем ямы равен 800 м³, что можно записать как:

\[ V = x^2 h = 800. \]

Из этого выражения можно выразить высоту:

\[ h = \frac{800}{x^2}. \]

Теперь определим площадь поверхности ямы, которую необходимо облицевать. Площадь включает в себя площадь дна и площадь стен (4 боковых стенки):

\[ S = x^2 + 4xh. \]

Подставим \( h \) в это уравнение:

\[ S = x^2 + 4x \cdot \frac{800}{x^2} = x^2 + \frac{3200}{x}. \]

Теперь нам нужно минимизировать \( S \). Для этого находим производную \( S \) по \( x \) и приравниваем её к нулю:

\[ \frac{dS}{dx} = 2x - \frac{3200}{x^2}. \]

Приравняем производную к нулю:

\[ 2x - \frac{3200}{x^2} = 0. \]

Умножим обе стороны на \( x^2 \):

\[ 2x^3 - 3200 = 0. \]

Решим это уравнение:

\[ 2x^3 = 3200 \implies x^3 = 1600 \implies x = \sqrt[3]{1600} \approx 11.18 \text{ м}. \]

Теперь найдем высоту \( h \):

\[ h = \frac{800}{x^2} = \frac{800}{(11.18)^2} \approx \frac{800}{125.6324} \approx 6.37 \text{ м}. \]

Подытожим: размеры ямы, чтобы минимизировать количество материала, равны:

\[ x \approx 11.18 \text{ м} \quad \text{(длина стороны основания)}, \] \[ h \approx 6.37 \text{ м} \quad \text{(высота)}. \]