Для решения данной задачи используем метод оптимизации.
Пусть ( x ) — длина стороны квадрата основания силосной ямы, а ( h ) — высота ямы. Объем ямы равен 800 м³, что можно записать как:
[
V = x^2 h = 800.
]
Из этого выражения можно выразить высоту:
[
h = \frac{800}{x^2}.
]
Теперь определим площадь поверхности ямы, которую необходимо облицевать. Площадь включает в себя площадь дна и площадь стен (4 боковых стенки):
[
S = x^2 + 4xh.
]
Подставим ( h ) в это уравнение:
[
S = x^2 + 4x \cdot \frac{800}{x^2} = x^2 + \frac{3200}{x}.
]
Теперь нам нужно минимизировать ( S ). Для этого находим производную ( S ) по ( x ) и приравниваем её к нулю:
[
\frac{dS}{dx} = 2x - \frac{3200}{x^2}.
]
Приравняем производную к нулю:
[
2x - \frac{3200}{x^2} = 0.
]
Умножим обе стороны на ( x^2 ):
[
2x^3 - 3200 = 0.
]
Решим это уравнение:
[
2x^3 = 3200 \implies x^3 = 1600 \implies x = \sqrt[3]{1600} \approx 11.18 \text{ м}.
]
Теперь найдем высоту ( h ):
[
h = \frac{800}{x^2} = \frac{800}{(11.18)^2} \approx \frac{800}{125.6324} \approx 6.37 \text{ м}.
]
Подытожим: размеры ямы, чтобы минимизировать количество материала, равны:
[
x \approx 11.18 \text{ м} \quad \text{(длина стороны основания)},
]
[
h \approx 6.37 \text{ м} \quad \text{(высота)}.
]
