найдите наибольшее и наименьшее значения функции у=х³-9х²+15х=-3 на отрезке [-1;3]
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = x^3 - 9x^2 + 15x + 3 \) на отрезке \([-1; 3]\), необходимо выполнить несколько шагов.
Найти производную функции: \[ y' = 3x^2 - 18x + 15 \]
Найти критические точки: Установим производную равной нулю: \[ 3x^2 - 18x + 15 = 0 \] Упростим уравнение: \[ x^2 - 6x + 5 = 0 \] Решим это квадратное уравнение с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{6 \pm 4}{2} \] Получаем: \[ x_1 = \frac{10}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 \] Критическая точка на отрезке \([-1; 3]\) — это \( x = 1 \).
Вычислить значения функции на границах отрезка и в критической точке:
- При \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^3 - 9(-1)^2 + 15(-1) + 3 = -1 - 9 - 15 + 3 = -22 \]
- При \( x = 1 \): \[ y(1) = (1)^3 - 9(1)^2 + 15(1) + 3 = 1 - 9 + 15 + 3 = 10 \]
- При \( x = 3 \): \[ y(3) = (3)^3 - 9(3)^2 + 15(3) + 3 = 27 - 81 + 45 + 3 = -6 \]
Сравнить полученные значения:
- \( y(-1) = -22 \)
- \( y(1) = 10 \)
- \( y(3) = -6 \)
Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке \([-1; 3]\) равно \( 10 \) (при \( x = 1 \)), а наименьшее значение равно \( -22 \) (при \( x = -1 \)).
