Звероферма выращивает черно-бурых лисиц и песцов. На звероферме имеется 10000 клеток. В одной клетке могут быть либо 2 лисы, либо 1 песец. По плану на ферме должно быть не менее…
Звероферма выращивает черно-бурых лисиц и песцов. На звероферме имеется 10000 клеток. В одной клетке могут быть либо 2 лисы, либо 1 песец. По плану на ферме должно быть не менее 3000 лис и 6000 песцов. В одни сутки необходимо выдавать каждой лисе корма 4 ед., а каждому песцу – 5 ед. Ферма ежедневно может иметь не более 200000 ед. корма. От реализации одной шкурки лисы ферма получает прибыль 10 д.е., а от реализации одной шкурки песца – 5 д.е. Какое количество лисиц и песцов нужно держать на ферме, чтобы получить наибольшую прибыль.
Для решения этой задачи можно использовать метод линейного программирования. Обозначим:
- \( x \) — количество клеток с лисами (в каждой клетке 2 лисы),
- \( y \) — количество клеток с песцами (в каждой клетке 1 песец).
Тогда можно записать следующие уравнения и неравенства:
Общее количество клеток: \[ x + y \leq 10000 \]
Минимальное количество лис: \[ 2x \geq 3000 \implies x \geq 1500 \]
Минимальное количество песцов: \[ y \geq 6000 \]
Ограничение по корму: \[ 4 \cdot 2x + 5y \leq 200000 \implies 8x + 5y \leq 200000 \]
Целевая функция, которую мы хотим максимизировать (прибыль): \[ P = 10 \cdot 2x + 5y = 20x + 5y \]
Теперь у нас есть система ограничений и целевая функция: \[ \begin{align*} \text{Maximize } & P = 20x + 5y \\ \text{subject to:} \\ & x + y \leq 10000 \quad (1) \\ & x \geq 1500 \quad (2) \\ & y \geq 6000 \quad (3) \\ & 8x + 5y \leq 200000 \quad (4) \end{align*} \]
Теперь решим эту задачу. Сначала выразим некоторые переменные и строим график, чтобы найти область допустимых решений.
Из неравенства (1): \[ y \leq 10000 - x \]
Из неравенства (4): \[ y \leq \frac{200000 - 8x}{5} \]
Совместим все неравенства.
Найдём точки пересечения линий. Решим совокупности линейных уравнений:
- При равенстве (1) и (4): \[ 10000 - x = \frac{200000 - 8x}{5} \] Умножим обе стороны уравнения на 5: \[ 50000 - 5x = 200000 - 8x \] \[ 3x = 150000 \implies x = 50000 \]
Точка не подходит (по ограничению на клетки).
Решив (2) и (4) и зная, что \(y \geq 6000\): \[ 8x + 5(6000) = 200000 \implies 8x = 200000 - 30000 = 170000 \implies x = 21250\text{ (не подходит)} \]
Теперь проверим для \(y = 6000\): \[ x + 6000 = 10000 \implies x = 4000 \]
Проверяем: \[ 8 \cdot 4000 + 5 \cdot 6000 = 32000 + 30000 = 62000 \text{ (меньше 200000)} \quad \text{Успешно} \]
Теперь считаем: \[ P = 20 \cdot 4000 + 5 \cdot 6000 = 80000 + 30000 = 110000 \]
Проверяем и другие точки:
- \( x = 1500; y = 6500\)
- \( x = 2500; y = 6000\).
В итоге находим максимум.
Наилучший вариант на ферме:
- 4000 клеток с 8000 лисами
- 6000 песцов при максимальной прибыли 110000 д.е.
Ответ:
- Лис: 8000
- Песцы: 6000.
- Прибыль: 110000 д.е.
