Вариант 15 16. Радиус ОА окружности с центром в точке о пересекает хорду BC в точке D и перпендикулярен ей найдите длину хорды BC если AD = 8 см а радиус окружности равен 13 см.

Для решения задачи используем свойства окружности и треугольников. 1. Известно, что радиус \( OA \) перпендикулярен хордe \( BC \) в точке \( D \), это означает, что \( OD \) является высотой к хордe \( BC \). 2. По свойствам окружности, отрезок \( OD \) делит хордy \( BC \) на два равных отрезка. Обозначим длины отрезков \( BD \) и \( DC \) как \( x \). Тогда длина хордy \( BC \) составит \( 2x \). 3. Мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике \( OAD \): \[ OA^2 = OD^2 + AD^2 \] Подставим известные значения: \[ 13^2 = OD^2 + 8^2 \] \[ 169 = OD^2 + 64 \] \[ OD^2 = 169 - 64 \] \[ OD^2 = 105 \] \[ OD = \sqrt{105} \] 4. Теперь применим теорему Пифагора в треугольниках \( OBD \) и \( ODC \): \[ OB^2 = OD^2 + BD^2 \] Это будет выглядеть так: \[ 13^2 = 105 + x^2 \] Получаем уравнение: \[ 169 = 105 + x^2 \] \[ x^2 = 169 - 105 \] \[ x^2 = 64 \] \[ x = 8 \] 5. Теперь можем найти длину хорды \( BC \): \[ BC = BD + DC = x + x = 2x = 2 \cdot 8 = 16 \text{ см} \] Ответ: Длина хорды \( BC \) равна \( 16 \) см.