Докажите что выражение (y-6)(y+8)-2(y-25) при любом значении y принимает положительное значение.

Для того чтобы показать, что выражение \( (y-6)(y+8)-2(y-25) \) при любом значении \( y \) принимает положительное значение, упростим его и проанализируем. Начнем с упрощения выражения: 1. Раскроем скобки: \[ (y - 6)(y + 8) = y^2 + 8y - 6y - 48 = y^2 + 2y - 48 \] 2. Теперь раскроем вторую часть: \[ -2(y - 25) = -2y + 50 \] 3. Объединим всё вместе: \[ (y^2 + 2y - 48) + (-2y + 50) = y^2 + 2y - 48 - 2y + 50 = y^2 + 2 \] Теперь получаем: \[ (y - 6)(y + 8) - 2(y - 25) = y^2 + 2 \] Мы видим, что \( y^2 + 2 \) является квадратом числа \( y \) плюс 2. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен (\( y^2 \geq 0 \) для любого \( y \)), мы имеем: \[ y^2 + 2 \geq 0 + 2 = 2 \] Таким образом, \( y^2 + 2 \) всегда положительно, а следовательно и выражение \( (y-6)(y+8) - 2(y-25) \) при любом значении \( y \) также положительно. В итоге мы доказали, что: \[ (y - 6)(y + 8) - 2(y - 25) > 0, \quad \forall y \in \mathbb{R}. \]