докажите что выражение (y-6)(y+8)-2(y-25) при любом значении y принимает положительное значение.
Для того чтобы показать, что выражение \( (y-6)(y+8)-2(y-25) \) при любом значении \( y \) принимает положительное значение, упростим его и проанализируем.
Начнем с упрощения выражения:
Раскроем скобки: \[ (y - 6)(y + 8) = y^2 + 8y - 6y - 48 = y^2 + 2y - 48 \]
Теперь раскроем вторую часть: \[ -2(y - 25) = -2y + 50 \]
Объединим всё вместе: \[ (y^2 + 2y - 48) + (-2y + 50) = y^2 + 2y - 48 - 2y + 50 = y^2 + 2 \]
Теперь получаем: \[ (y - 6)(y + 8) - 2(y - 25) = y^2 + 2 \]
Мы видим, что \( y^2 + 2 \) является квадратом числа \( y \) плюс 2. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен (\( y^2 \geq 0 \) для любого \( y \)), мы имеем: \[ y^2 + 2 \geq 0 + 2 = 2 \]
Таким образом, \( y^2 + 2 \) всегда положительно, а следовательно и выражение \( (y-6)(y+8) - 2(y-25) \) при любом значении \( y \) также положительно.
В итоге мы доказали, что: \[ (y - 6)(y + 8) - 2(y - 25) > 0, \quad \forall y \in \mathbb{R}. \]
