Мо­тор­ная лодка про­шла про­тив те­че­ния реки 84 км и вер­ну­лась в пункт от­прав­ле­ния, за­тра­тив на об­рат­ный путь на 8 часов мень­ше. Най­ди­те ско­рость те­че­ния, если…

Обозначим скорость течения реки как \( v \) км/ч. Тогда скорость лодки против течения будет \( 10 - v \) км/ч, а со скоростью течения — \( 10 + v \) км/ч.

Время, затраченное на путь против течения (вперед), можно выразить как:

\[ t_1 = \frac{84}{10 - v} \]

Время, затраченное на путь по течению (обратно), будет:

\[ t_2 = \frac{84}{10 + v} \]

Согласно условию задачи, известно, что время на обратный путь на 8 часов меньше времени на путь против течения:

\[ t_2 = t_1 - 8 \]

Подставим наши выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \):

\[ \frac{84}{10 + v} = \frac{84}{10 - v} - 8 \]

Теперь умножим на \( (10 + v)(10 - v) \) (чтобы избавиться от дробей):

\[ 84(10 - v) = 84(10 + v) - 8(10 + v)(10 - v) \]

Раскроем скобки:

\[ 840 - 84v = 840 + 84v - 8(100 - v^2) \]

Соберем все слагаемые на одной стороне:

\[ 840 - 84v - 840 - 84v + 800 - 8v^2 = 0 \]

Упростим уравнение:

\[ -168v + 800 - 8v^2 = 0 \]

Перепишем его в стандартном виде:

\[ 8v^2 + 168v - 800 = 0 \]

Разделим все слагаемые на 8:

\[ v^2 + 21v - 100 = 0 \]

Теперь воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения:

\[ v = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]

где \( a = 1 \), \( b = 21 \), \( c = -100 \):

\[ v = \frac{{-21 \pm \sqrt{{21^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100)}}}}{2 \cdot 1} \] \[ v = \frac{{-21 \pm \sqrt{{441 + 400}}}}{2} \] \[ v = \frac{{-21 \pm \sqrt{{841}}}}{2} \] \[ v = \frac{{-21 \pm 29}}{2} \]

Теперь найдем два возможных значения:

1. \[ v_1 = \frac{8}{2} = 4 \]

2. \[ v_2 = \frac{-50}{2} = -25 \quad (\text{отрицательное значение не подходит}) \]

Таким образом, скорость течения реки равна:

\[ \boxed{4} \text{ км/ч} \]