Обозначим скорость течения реки как ( v ) км/ч. Тогда скорость лодки против течения будет ( 10 - v ) км/ч, а со скоростью течения — ( 10 + v ) км/ч.
Время, затраченное на путь против течения (вперед), можно выразить как:
[
t_1 = \frac{84}{10 - v}
]
Время, затраченное на путь по течению (обратно), будет:
[
t_2 = \frac{84}{10 + v}
]
Согласно условию задачи, известно, что время на обратный путь на 8 часов меньше времени на путь против течения:
[
t_2 = t_1 - 8
]
Подставим наши выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{84}{10 + v} = \frac{84}{10 - v} - 8
]
Теперь умножим на ( (10 + v)(10 - v) ) (чтобы избавиться от дробей):
[
84(10 - v) = 84(10 + v) - 8(10 + v)(10 - v)
]
Раскроем скобки:
[
840 - 84v = 840 + 84v - 8(100 - v^2)
]
Соберем все слагаемые на одной стороне:
[
840 - 84v - 840 - 84v + 800 - 8v^2 = 0
]
Упростим уравнение:
[
-168v + 800 - 8v^2 = 0
]
Перепишем его в стандартном виде:
[
8v^2 + 168v - 800 = 0
]
Разделим все слагаемые на 8:
[
v^2 + 21v - 100 = 0
]
Теперь воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения:
[
v = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = 21 ), ( c = -100 ):
[
v = \frac{{-21 \pm \sqrt{{21^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100)}}}}{2 \cdot 1}
]
[
v = \frac{{-21 \pm \sqrt{{441 + 400}}}}{2}
]
[
v = \frac{{-21 \pm \sqrt{{841}}}}{2}
]
[
v = \frac{{-21 \pm 29}}{2}
]
Теперь найдем два возможных значения:
1.
[
v_1 = \frac{8}{2} = 4
]
2.
[
v_2 = \frac{-50}{2} = -25 \quad (\text{отрицательное значение не подходит})
]
Таким образом, скорость течения реки равна:
[
\boxed{4} \text{ км/ч}
]
