Решение

Конечно, давайте разберём задачи по арифметической прогрессии.

Задача 6.

Арифметическая прогрессия определяется первой формулой: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \]

1. Первый пункт:

   • \( a_1 = 43 \), \( a_{n+1} = a_n + 5 \); это значит, что разность \( d = 5 \).
   • Сумма первых семи членов: \[ S_7 = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1) \cdot d) \] \[ S_7 = \frac{7}{2} \cdot (2 \cdot 43 + (7-1) \cdot 5) = \frac{7}{2} \cdot (86 + 30) = \frac{7}{2} \cdot 116 = 406 \]

2. Второй пункт:

   • \( a_1 = 23 \), \( a_{n-1} = a_n + 15 \); это значит, что разность \( d = -15 \).
   • Сумма первых восьми членов: \[ S_8 = \frac{8}{2} \cdot (2 \cdot 23 + (8-1) \cdot (-15)) = 4 \cdot (46 - 105) = 4 \cdot (-59) = -236 \]

3. Третий пункт:

   • \( a_5 = 29 \), \( a_{n+2} = a_n + 19 \); это значит, что разность \( d = \frac{19}{2} = 9.5 \).
   • Перепроверка с \( a_5 \): \( a_1 = a_5 - 4 \cdot 9.5 = 29 - 38 = -9 \).
   • Сумма первых пяти членов: \[ S_5 = \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot (-9) + (5-1) \cdot 9.5) \] \[ S_5 = \frac{5}{2} \cdot (-18 + 38) = \frac{5}{2} \cdot 20 = 50 \]

4. Четвёртый пункт:

   • \( a_3 = 19 \), \( a_{n-2} = a_n + 16 \); это значит, что разность \( d = \frac{16}{-2} = -8 \).
   • Перепроверка с \( a_3 \): \( a_1 = a_3 - 2 \cdot (-8) = 19 + 16 = 35 \).
   • Сумма первых десяти членов: \[ S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 \cdot 35 + (10-1) \cdot (-8)) \] \[ S_{10} = 5 \cdot (70 - 72) = 5 \cdot (-2) = -10 \]

Задача 7.

Последовательные члены арифметической прогрессии:

• \( x = 103 \) или \( x = 128 \).

Надеюсь, это поможет! Если есть вопросы, сообщите.