Сколько целых чисел от 2000 до 2500 имеют четыре различных цифры, расположенных в порядке возрастания? (Например, 2347)
Чтобы найти количество целых чисел от 2000 до 2500, которые состоят из четырёх различных цифр, расположенных в порядке возрастания, воспользуемся следующим методом:
- Первой цифрой числа от 2000 до 2500 должна быть цифра 2.
- Остальные три цифры числа должны быть выбраны из оставшихся цифр: 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (то есть 0-9 без 2), и они должны быть разными и располагаться в порядке возрастания.
Таким образом, нам нужно выбрать три различных цифры из оставшихся девяти цифр (0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Обозначим набор оставшихся цифр, доступных для выбора, как:
- 0
- 1
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
Итак, мы выбираем 3 цифры из 9 возможных. Для подбора цифр можно использовать формулу: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Здесь \( n \) — количество доступных цифр, а \( k \) — количество цифр, которые мы хотим выбрать.
В нашем случае \( n = 9 \), а \( k = 3 \). Таким образом, мы получаем: \[ C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84 \]
Итак, есть 84 числа от 2000 до 2500, которые имеют четыре различных цифры, расположенных в порядке возрастания.
