вычислить производную: y=-(x/(2+8x3))+1/12ln(((1+2x)2)/(1-2x+4x2))+√3/6×arctan((4x-1)/√3)
Для нахождения производной функции \( y \) используем правила дифференцирования:
- Производная дроби: \( \frac{u}{v} \) даёт \( \frac{u'v - uv'}{v^2} \).
- Производная логарифмической функции: \( \frac{d}{dx}[\ln(u)] = \frac{u'}{u} \).
- Производная арктангенса: \( \frac{d}{dx}[\arctan(u)] = \frac{u'}{1 + u^2} \).
- Производная степенной функции: \( \frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1} \).
Теперь найдем производные отдельных частей.
Первая часть: \( y_1 = -\frac{x}{2 + 8x^3} \).
Обозначим \( u = x \) и \( v = 2 + 8x^3 \).
\[ u' = 1 \] \[ v' = 24x^2 \]
Применяем правило производной дроби: \[ y_1' = -\frac{u'v - uv'}{v^2} = -\frac{(1)(2 + 8x^3) - (x)(24x^2)}{(2 + 8x^3)^2} \] \[ = -\frac{2 + 8x^3 - 24x^3}{(2 + 8x^3)^2} = -\frac{2 - 16x^3}{(2 + 8x^3)^2} \]
Вторая часть: \( y_2 = \frac{1}{12} \ln\left(\frac{(1 + 2x)^2}{1 - 2x + 4x^2}\right) \).
Для производной используем правило производной логарифма: \[ y_2' = \frac{1}{12} \cdot \frac{((1 + 2x)^2)'}{(1 + 2x)^2} - \frac{1}{12} \cdot \frac{(1 - 2x + 4x^2)'}{(1 - 2x + 4x^2)} \]
Считаем \( (1 + 2x)^2' \): \[ ((1 + 2x)^2)' = 2(1 + 2x)(2) = 4(1 + 2x) \]
Считаем \( (1 - 2x + 4x^2)' \): \[ (1 - 2x + 4x^2)' = -2 + 8x \]
Таким образом: \[ y_2' = \frac{1}{12} \left( \frac{4(1 + 2x)}{(1 + 2x)^2} - \frac{-2 + 8x}{1 - 2x + 4x^2} \right) \]
Третья часть: \( y_3 = \frac{\sqrt{3}}{6} \arctan\left(\frac{4x - 1}{\sqrt{3}}\right) \).
Используем правило производной арктангенса: \[ y_3' = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{((4x - 1) / \sqrt{3})'}{1 + \left(\frac{4x - 1}{\sqrt{3}}\right)^2} \]
Производная \( (4x - 1) / \sqrt{3} \) даёт: \[ \frac{4}{\sqrt{3}} \]
Наконец, \( 1 + \left(\frac{4x - 1}{\sqrt{3}}\right)^2 \) равна: \[ 1 + \frac{(4x - 1)^2}{3} \]
Теперь соединяем все результаты:
Полная производная \( y' \): \[ y' = y_1' + y_2' + y_3' \]
Финальное выражение для полной производной можно записать с помощью найденных компонент. Для упрощения можете подставить найденные производные в конце, чтобы получить конкретное числовое значение, если необходимо.
