Давайте разберем каждое предложение, выделяя обстоятельства и вставляя пропущенные буквы.
При малейшей удаче он необыкновенно ободрялся.
- Обстоятельство: причины (при малейшей удаче)
В случае нападения запирайте ворота да выводите солдат.
- Обстоятельство: условия (в случае нападения)
Из-за шума падающего дождя ничего не было слышно.
- Обстоятельство: причины (из-за шума)
Плавание по реке было опасно вследствии быстроты течения.
- Обстоятельство: причины (вследствии быстроты течения)
Сгоряча он не обратил внимания на ушиб.
- Обстоятельство: причины (сгоряча)
Санитарный поезд отправлялся в Омск на ремонт.
- Обстоятельство: времени (на ремонт)
После митинга Черепанов пригласил Фролова к себе поужинать.
- Обстоятельство: времени (после митинга)
В продолжении дня перебывало в моей хижине более сорока человек из разных деревень.
- Обстоятельство: времени (в продолжении дня)
В течение всего путешествия работы было вдоволь.
- Обстоятельство: времени (в течение всего путешествия)
Теперь по поводу правописания предлогов:
- (в)следствии: правильная форма "вследствии";
- (в)течении: правильная форма "в течение";
- (в)продолжении: правильная форма "в продолжении".
Слова, следуемые к главному с помощью предлогов:
- Предлог "в" + зависимое слово: "в течение" (в течение времени);
- Предлог "в" + зависимое слово: "в продолжении" (в продолжении беседы).
Сочетание с наречием (в)последствии:
- "Впоследствии этого события произошло много изменений".
Если вам нужна дополнительная информация или помощь, дайте знать!