Один киломоль идеального одноатомного газа расширяется по закону p = aV, где а = const. Найти молярную теплоемкость газа
Для решения задачи о расширении идеального одноатомного газа по закону \( p = aV \), где \( a \) - постоянная, воспользуемся уравнением состояния идеального газа и основными законами термодинамики.
Начнем с уравнения состояния идеального газа: \[ pV = nRT, \] где \( n \) - количество вещества (в молях), \( R \) - универсальная газовая постоянная, \( T \) - температура.
Подставим закон \( p = aV \) в уравнение состояния: \[ aV^2 = nRT \quad \Rightarrow \quad T = \frac{aV^2}{nR}. \]
Для нахождения молярной теплоемкости при расширении газа используем первый закон термодинамики: \[ \delta Q = dU + \delta W, \] где \( \delta Q \) - тепло, добавляемое к системе, \( dU \) - изменение внутренней энергии, \( \delta W \) - работа, совершаемая газом.
Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии определяется как: \[ dU = nC_V dT, \] где \( C_V = \frac{3R}{2} \) для одноатомного газа.
Работа газа при расширении может быть найдена через давление и объем: \[ \delta W = pdV = aV dV. \] Для работы \( W \) при переходе от состояния \( V_1 \) до состояния \( V_2 \): \[ W = \int_{V_1}^{V_2} aV dV = \frac{a}{2} (V_2^2 - V_1^2). \]
Подставим выражения для \( dU \) и \( \delta W \) в уравнение для \( \delta Q \): \[ \delta Q = nC_V dT + aV dV. \]
Теперь найдем изменение температуры \( dT \): \[ dT = \frac{d(aV^2/ (nR))}{dV} = \frac{2aV}{nR} dV. \]
Подставим это значение в уравнение для \( \delta Q \): \[ \delta Q = nC_V \left(\frac{2aV}{nR}\right)dV + aV dV = \left(\frac{2nC_V aV}{nR} + aV \right)dV = \left(\frac{2C_V a}{R} + a \right)V dV. \]
Перепишем коэффициенты: \[ C = \frac{2C_V}{R} + 1 = 2 \cdot \frac{3R/2}{R} + 1 = 3 + 1 = 4. \]
Таким образом, молярная теплоемкость газа при данном процессе равна: \[ C = 4R. \]
Это означает, что молярная теплоемкость, соответствующая данному процессу, составляет \( C = 4R \).
