боковые равнобедренного треугольника равны 101 основание равно 198 найдите радиус вписанной окружности
Чтобы найти радиус вписанной окружности треугольника, можно воспользоваться формулой:
\[ r = \frac{S}{p} \]
где \( r \) — радиус вписанной окружности, \( S \) — площадь треугольника, а \( p \) — полупериметр.
Сначала найдем полупериметр \( p \):
Периметр треугольника равен сумме всех сторон: \[ P = a + b + c \] Для равнобедренного треугольника с боковыми сторонами \( a = 101 \) и основанием \( c = 198 \): \[ P = 101 + 101 + 198 = 400 \] Полупериметр \( p \): \[ p = \frac{P}{2} = \frac{400}{2} = 200 \]
Теперь найдем площадь \( S \) треугольника. Для этого можно использовать формулу Герона:
\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] Здесь: \[ a = 101, \quad b = 101, \quad c = 198 \]
Подставим значения в формулу: \[ S = \sqrt{200(200 - 101)(200 - 101)(200 - 198)} \] \[ S = \sqrt{200(99)(99)(2)} \] \[ S = \sqrt{200 \cdot 99^2 \cdot 2} = \sqrt{39600 \cdot 2} = \sqrt{79200} \]
Для удобства расчетов можно упростить: \[ S = 20 \sqrt{1980} \]
Теперь находите радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{p} = \frac{20 \sqrt{1980}}{200} = \frac{\sqrt{1980}}{10} \]
Упрощаем \( \sqrt{1980} \): \[ 1980 = 36 \cdot 55 = 6^2 \cdot 55 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{1980} = 6\sqrt{55} \]
Таким образом, радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{6\sqrt{55}}{10} = \frac{3\sqrt{55}}{5} \]
Итак, радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника равен \( \frac{3\sqrt{55}}{5} \).
