исследовать сходимость ряда : (1-(lnk)/k)^2k

Рассмотрим ряд:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \left(1 - \frac{\ln k}{k}\right)^{2k} \]

Для исследования сходимости этого ряда, прежде всего, заметим, как ведет себя член ряда при больших \( k \). Рассмотрим предел:

\[ 1 - \frac{\ln k}{k} \]

Когда \( k \to \infty \), \(\frac{\ln k}{k} \to 0\), так что \(1 - \frac{\ln k}{k} \to 1\). Однако, для более точного анализа, рассчитаем:

\[ \left(1 - \frac{\ln k}{k}\right)^{2k} \]

С помощью предела при \( n \to \infty \):

\[ \left(1 - \frac{x}{n}\right)^n \to e^{-x} \]

мы можем приблизительно оценить:

\[ \left(1 - \frac{\ln k}{k}\right)^{2k} \approx e^{-2 \ln k} = k^{-2} \]

Таким образом, для больших \( k \):

\[ \left(1 - \frac{\ln k}{k}\right)^{2k} \approx \frac{1}{k^2} \]

Теперь можно использовать тест сравнения для сходимости. Мы знаем, что ряд

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \]

сходится (это p-ряд с \( p = 2 > 1 \)). Следовательно, по критерию сравнения, ряд

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \left(1 - \frac{\ln k}{k}\right)^{2k} \]

также сходится.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что ряд \(\sum_{k=1}^{\infty} \left(1 - \frac{\ln k}{k}\right)^{2k}\) сходится.