Рассмотрим ряд:
[
\sum_{k=1}^{\infty} \left(1 - \frac{\ln k}{k}\right)^{2k}
]
Для исследования сходимости этого ряда, прежде всего, заметим, как ведет себя член ряда при больших ( k ). Рассмотрим предел:
[
1 - \frac{\ln k}{k}
]
Когда ( k \to \infty ), (\frac{\ln k}{k} \to 0), так что (1 - \frac{\ln k}{k} \to 1). Однако, для более точного анализа, рассчитаем:
[
\left(1 - \frac{\ln k}{k}\right)^{2k}
]
С помощью предела при ( n \to \infty ):
[
\left(1 - \frac{x}{n}\right)^n \to e^{-x}
]
мы можем приблизительно оценить:
[
\left(1 - \frac{\ln k}{k}\right)^{2k} \approx e^{-2 \ln k} = k^{-2}
]
Таким образом, для больших ( k ):
[
\left(1 - \frac{\ln k}{k}\right)^{2k} \approx \frac{1}{k^2}
]
Теперь можно использовать тест сравнения для сходимости. Мы знаем, что ряд
[
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}
]
сходится (это p-ряд с ( p = 2 > 1 )). Следовательно, по критерию сравнения, ряд
[
\sum_{k=1}^{\infty} \left(1 - \frac{\ln k}{k}\right)^{2k}
]
также сходится.
Таким образом, мы можем сделать вывод, что ряд (\sum_{k=1}^{\infty} \left(1 - \frac{\ln k}{k}\right)^{2k}) сходится.
